姚建法

《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》指出：“根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量通过计算得出确定结果的过程，称为运算。能够按照一定的程序与步骤进行运算，称为运算技能。不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径，称为运算能力。”[1]

运算能力作为十大核心概念之一，是义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养之一，也是数学学科的关键能力，倍受一线数学教师的重视。从课时目标来看，形成运算技能是重要内容；从整体视角来看，提升运算能力才是关键。那么，如何在教学过程中掌握运算技能同时突显出数学运算能力呢？运算教学又需要经历怎样的转化过程呢？下面结合苏教版《数学》六年级上册第三单元“分数除以整数”的教学实践，谈谈自己的思考，与大家共同探讨。

一、从算法自生到算法多样化的转变——沟通算法算理

面对新的运算与问题，学生依据已有的知识储备和运算经验，会有自己个性化的认知理解与行为反映。教材首先出示了分 升果汁的现实情境，配备了一个1000毫升的量杯插图，学生还可以通过豆荚老师“先在右图中分一分，再算出结果”得到首次面对分数除以整数的思维路径，降低问题解决的难度。

屏幕仅呈现例1：“分数除以整数”就是我们今天要研究的内容， ÷2会算吗？先独立思考，把你的想法记录下来，完成后再在小组内交流。如有困难，再看一看屏幕上的提示（出示豆荚老师部分），想想是不是有所帮助。

并列投影学生第一类资源：图示法（线段图、长方形图等）

觀察比较：用了什么方法？表达了怎样的思考过程？

小结：图示法，把平均分成的5份中的4份，再次平均分成2份，每份都是4份的 。

并列投影第二类、第三类资源：

（1）分数的组成：4个 平均分成2份，每份是2个 ，是 （即 ÷2= = ）。

（2）转化法：① =0.8，0.8÷2=0.4=

② 升=800毫升，800÷2=400毫升= 升

观察比较：这几种算法分别表达了怎样的思考过程？有什么相同之处吗？

小结：一个是把4个 平均分2份（即把分子除以2），另一个是把8个0.1或800平均分成2份，都是利用了数的组成。

并列投影三类资源，比较沟通：观察这些算法，它们有什么联系或相同之处？

小结提炼：都表示把 升平均分成2份，每份是 升的 ，即： ÷2= × 。

补问：你能再用另一种方法来计算 ÷2的商吗？完成后和同桌交流。

……

由于初次接触分数除以整数，所以学生在例题呈现之后的思考是被逼无奈下的潜在唤醒，是在用自己的想法去创造运算、体悟运算，此时表达所展现的更多的是个性化运算能力的创生外化。 ÷2等于 乘以2的倒数，学生是很难想到的。但可以通过多种方法下的画图进行沟通，从图示中学生能够得到清晰的理解：平均分成2份，其中的1份就是它的 ，所以 ÷2= × 。慢慢从感性的“图像”过渡到理性的数学“符号”，从而达成对算法的掌握与算理的沟通。这样，“既自然地顺应了学生的认知规律，又将学生的思维引入了深层次的思考，将学生浅而不全的自然结构转化为准确完整的知识结构，把学生看似随意、表面、感性的知识转变为深层、发展、理性的数学素养”[2]。

从学生个体的思考，到小组群体的交流，再到全班集体的分析，实现了经验与情感的交互流动。在思考与听取吸纳的过程中，形成了学生群体的“算法多样化”。尤其通过“你能再用另一种方法来计算 ÷2的商吗？”给学生充足的丰富自身运算方式的机会，拓宽了解决新问题的思考，达成了学生个体的算法多样化。虽然算法多样化，但算理相通，用算理指导算法，积累和丰富着探索新运算的经验；用算法内化算理，有利于基本运算技能的形成。

二、从算法多样化向算法优化的转化——掌握运算技能

“算法多样化”是“算法优化”的前提和保障，“算法优化”是“算法多样化”的递进与普适化过程。教材须全体学生掌握的是把分数除以整数转化成分数乘以整数的倒数的方法，这种方法更具普适意义，具备算法优化的特性，重点解决“怎么运算”和“运算时要注意什么”的问题。但如何让学生体验到此种方法的普适性，以及转化成小数除法或分子除以整数等特殊运算方法的局限性？光靠学生说说“最喜欢哪一种算法”或教师作出“权威判定”，显然是行不通的。这就需要学生在具体的运算过程中进行运用，并在运用中不断进行运算反思，在体验中自醒，在亲身经历中舍取，从而感受数学的工具性，真正实现算法的优化，掌握最为常规而基本的运算方法。

所以，教材随后安排的“试一试”是“ ÷3”，学生就会自然而然地将图示法、分子除以整数法、转化小数法排除在外，因为这时它“不方便”。此时引导学生回顾反思就有了具体运算的经历与情感体验的基础，“分数除以整数，可以怎样计算”就有血有肉了，“分数除以整数可以转化成分数乘以整数的倒数”的优越性就充分地体现了出来。

但是，运算技能的形成并不是通过两道题就能完成的，学生需要在更丰富的计算情境中加以体验，从而逐步剥离出最为适用的计算方法与运算路径。常规的技能训练是很有必要的，这也为后面持续学习分数除法奠定了坚实的基调。于是，教材在随后的练一练中设置了三组习题。第1题再次引导学生经历图象表征运算的过程，强化平均分即一个数的几分之一。第2题是对运算步骤与程序的规范和熟练。第3题则是进一步促进学生形成分数除以整数的运算技能。教师须要引导学生在丰富的运算实例中体会“分数除以整数要注意些什么”，并结合运算过程边算边思，让思考有运算过程的依托，让计算有思考的理性陪伴，从而实现基本运算技能的固化，体现数学味。

三、从算法优化向算法灵活选择的转变——提升运算能力

当算法多样化经历了优化的过程之后，通过专项巩固训练，学生的运算技能也已初步形成。那么，当算法优化后，是不是就一味地让学生运用“普适”方法计算呢？华中师大郭元祥教授指出：“从公共知识的理解到个人知识的建立再到意义达成，是一个生动的丰富的知识理解与意义建构的过程”。所以，当运算技能达到一定的熟练化程度时，引导学生关注参与运算的数据就显得尤为重要：每一道运算的式题都是特殊的“个体”。

计算也需要审题。在计算审题过程中学生对数据的整体感知与把握能力是提升数学运算能力的重要保障。比如练一练中的第3题，无论是“÷4”还是“÷3”，都可以直接把分子平均分，特殊的算式用特殊的运算方法更简洁，体现具体算式具体分析的辩证思维，促进数学理解。此时，在组织学生交流的过程中，就需要教师适时地追问或对比呈现这两类算法：一类是把除法转化成乘法，一类是分子除以整数，让学生经历算法优化之后的回归，在运算前先观察数据特点，再灵活选择运算方法，实现运算自动化。在此基础之上，让学生用这种方法做一做，切身体验一下数据特点带来的运算之便，并增加反问“为什么后面两小题不用这种方法呢”，引导学生通过逆向思维再次反衬并提升数据敏感性，体现算法优化与算法灵活化之间的运算之美。这样做的目的是及时打破学生的运算定势，防止运算思维与方法的封闭，从而走向运算的开放，走向运算的灵动。

如果说从算法多样化到算法优化，体现了运算技能从特殊到一般的过程，那么，从算法优化到算法灵活选择，则是从一般到特殊的回归，是运算技能的再次“自生长”，是学生个体知识与经验的重组与改造。“知识的理解与学习需要经过还原与下沉、经验与探究、反思与上浮的‘U型过程”[3]，三次运算教学的转变，逐步上升到新的运算高度，有效实现了运算能力的形成与提升。

参考文献

[1] 教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 张岚.课堂：让学生“走起来”[J].小学数学教育：下半月，2015（7-8）.

[3] 郭元祥.增强课堂的画面感—谈课程改革的深化[J].新教师，2016（5）.

[责任编辑：陈国庆]