●冯海容 江 强(黄岩中学 浙江黄岩 318020)

恰当分类与减少讨论层次的策略*

●冯海容 江 强
(黄岩中学 浙江黄岩 318020)

分类讨论是近几年高考数学必考的数学思想方法之一．分类讨论首先要学会恰当分类，其次是如何减少讨论层次．要恰当分类，则要理清分类原因，理顺逻辑关系．多次、多层讨论要“扁平化”处理，减少讨论层次的策略有：缩小范围、数形结合、变更主元等．对于多元变量的分类讨论，可利用有关几何意义“相对变量分离”讨论．

分类讨论；减少讨论；“扁平化”处理；缩小范围；“相对变量分离”

1 知识内容

1．1 分类讨论的地位与作用

分类讨论，本质上是“化整为零，积零为整”，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给的对象不能进行统一的方法处理时，就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同类别，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类的结果得到整个问题的解决，我们称之为分类讨论思想．

分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象、发展思维方面起着重要作用.因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要地位，也是历年高考的重点之一．

分类讨论思想往往结合具体的数学知识(如函数、不等式、解析几何等)进行考查，内容十分丰富；形式上从含一个参数的讨论慢慢转到含多个参数的讨论，从简单的分类讨论转到需运用逻辑、数形结合等数学本质的分类讨论．

分类讨论首先要学会恰当分类，其次是如何减少讨论层次．

1．2 恰当分类原则

1．2．1 理清分类原因，理顺逻辑关系

要恰当分类，首先要理清分类的原因，才能提高分类的意识、恰当分类．从产生分类讨论的原因上看，主要有：

1)由数学的概念、运算、性质、定理和公式的限制引起分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式、集合运算中有无空集、偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式2边同乘一实数对不等号方向的影响等；

2)由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；

3)由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同导致所得结果不同，或参数的取值不同引起图形的不同属性，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；

4)其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等．

世上没有“无缘无故”的讨论，也没有“无缘无故”的分类，只有理清分类原因，才能做到有效分类讨论，这也是减少讨论层次的重要手段．分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论,其中最重要的一条是“不重不漏”．

当出现多种并列分类讨论、多层分类讨论或相互交叉分类讨论时，要理顺其逻辑关系，要注意最后的归纳是合并关系还是并列关系．

1．2．2 确定分界点和分界线，“扁平化”处理

当有多个对象要讨论或分类，以及分类讨论中还有分类讨论时，如何减少讨论层次显得很重要，除了理清分类原因，还常常用以下方法：首先确定每一分类对象的分界点和分界线，再利用所有分界点和分界线把讨论范围“扁平化”分成各个部分，最后在各个部分内讨论．

这种“扁平化”处理，首先,让我们重点关注分类讨论的2个关键：一是分类标准，即分界点和分界线；二是各类讨论的本身，而不是分类讨论的形式．其次,这种讨论只在同一层次内讨论，且相互之间没有上下之分，又不重复不遗漏，简单实用，真正做到恰当分类、减少讨论层次．

1．3 减少讨论层次的策略

因为分类讨论比较繁琐，思维严谨性要求高，容易失误，而且此类题目的思维深，所以如何减少甚至避免分类讨论就显得非常必要．除了上述“扁平化”手段外，还可以从数学思想和方法上，即从根子上减少和避免分类讨论．

1)缩小范围．可利用部分条件或隐含条件，缩小参数的范围，达到减少讨论层次的目的；也可以利用参数的变化及其影响作用，确定参数的大致范围，达到减少讨论层次的目的．

2)数形结合．如果有几何背景以及能构造出有关图形，那么可利用几何的特征和关系的讨论代替分类讨论，减少甚至避免讨论.

3)变更主元．当出现多个变量且各个变量地位不相等时，可以从最简单的一个变量入手进行讨论，这样可减少分类讨论．常用的方法有：分离参数、主元变更等.

4)直接回避．利用逻辑等其他数学思想和本质减少和避免分类讨论，如运用反证法、反面思考等方法有时可以避开烦琐的讨论．

减少甚至避免分类讨论时，要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”．

2 典题剖析

2．1 恰当分类讨论，首先要理清分类的原因，确定主次关系

分类讨论，首先要理清分类的原因．只有搞清为什么要分类，才能进行分类．当有多个对象(如字母、变量、函数等)需要分类，或讨论的角度有多种情况时，更要理清分类的原因，哪些是产生分类的主要原因，哪些是可以避免的，选择哪个讨论对象及角度难度更小．

1)求使得等式F(x)=x2-ax+4a-2成立的x的取值范围.

2)①求F(x)的最小值m(a)；②求F(x)在[0,6]上的最大值M(a)．

(2016年浙江省数学高考理科试题第18题)

分析 本题产生分类讨论的原因有3个：1)绝对值|x-1|的分类讨论；2)x2-2ax+4a-2与2|x-1|的大小的分类讨论；3)参数a的变化引起的分类讨论．哪个作为分类讨论的主要原因呢？这要看考查的目标，每小题是不一样的．

x2-2ax+4a-2≤2|x-1|

的解．此时产生分类讨论的主要原因是绝对值|x-1|的分类讨论，参数a的变化引起的分类讨论是次要的，从而

①当x≤1时，不等式(1)等价于

x2-2ax+4a-2≤2-2x，

即

x2+2(a-1)(2-x)≤0，

当a≥3时，无解；

②当x>1时，不等式(1)等价于

x2-2ax+4a-2≤2x-2，

即

(x-2a)(x-2)≤0，

当a≥3时，不等式(1)的解为2≤x≤2a.

因此，F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为2≤x≤2a．

第2)小题由于要考虑最值情况，应把x2-2ax+4a-2与2|x-1|的大小分类作为主要原因，结合函数f(x)=x2-2ax+4a-2与g(x)=2|x-1|的图像位置，再加以分类讨论：

图1

如图1，函数f(x)=x2-2ax+4a-2过定点A(2,2)，且点A在函数y=g(x)上,从而

①因为F(x)的最小值为min{g(1),f(a)}，而g(1)=0，f(a)=-a2+4a-2，所以

②从图1中可看出，当x∈[0,2]时，F(x)=g(x)，此时

M(a)=g(0)=g(2)=2；

当x∈[2,6]时，F(x)=f(x)，此时a≥3，从而

M(a)=max{f(2),f(6)}=max{2,34-8a}，

故

2．2 多层分类讨论或多次分类讨论的关键是“扁平化”分界点

当分类讨论需并列多次讨论或需多层讨论时，应找出各类或各层次的分界点，再“扁平化”处理各分界点，把讨论范围分成多个部分或多个区域，再在各个部分或区域作相应讨论．

例2 解关于x的方程：(a-1)x2-(2a+1)x+a>0，其中a∈R．

1)当a>1时，原方程的解为

评注 当分类讨论涉及多层次、多角度讨论时，应根据条件综合各层次、各角度分类的分界点进行“扁平化”处理，达到简化讨论的目的，迅速做到不重不漏．当分类讨论的参数是单参数时，分界点按数轴划分；当参数是双参数时，分界点按平面区域划分．

2．3 分类讨论应尽量利用条件缩小讨论范围

有些分类讨论问题可利用条件缩小讨论范围，不用全范围讨论，避开一些不必要的讨论，达到简化讨论的目的，甚至避免分类讨论．

例3 函数f(x)=(m-3)x3+9x在区间[1,2]上的最大值为4，求实数m的值．

分析 按常规分类，首先分m>3，m=3，m<3这3类；其次考虑极值点有无在区间[1,2]中；最后还要考虑极值点的函数值与2个端点的函数值大小．讨论层次多，容易出错．

实际上，由最大值的含义知

从而m≤-2.当x∈[1,2]时，

f′(x)=3(m-3)x2+9<0,

于是

f(x)max=f(1)=m+6=4，

故m=-2(这样就避免了分类讨论).

评注 实施分类讨论时，常常利用部分条件、隐含条件和逻辑关系缩小讨论范围，如利用最值、函数定义域、函数值域、恒成立等概念，运用特殊与一般关系缩小讨论范围，减少不必要的讨论．

2．4 运用数形结合思想减少甚至避免分类讨论

许多分类讨论问题，若直接分类讨论,则将陷入运算复杂、讨论繁琐的情况;若运用数形结合思想，即利用图形的直观性、可操作性，则分类讨论将简化甚至避免，达到“柳暗花明又一村”的境界．

(2016年浙江省高中数学学业水平考试第25题第2)小题)

图2 图3

2)当0

记A(2,f1(2))，B(1,f1(1)).因为当x∈(1,1+a)时，

图4 图5

评注 本题充分利用图像关系,替代了有关代数的讨论，大大降低了讨论的难度，增加了可操作性．遇到此类问题，一般首先从代数式的结构中构造或分离出一次函数、二次函数、指数函数、反比例函数等基本函数，再利用函数图像关系加以讨论．

2．5 运用变量分离思想减少甚至避免分类讨论

当含有变量的问题很难直接进行分类讨论时，可从参数角度考虑解决，运用参数分离思想常常可以减少甚至避免分类讨论．对于单变量问题，常直接变量分离；对于多变量问题，常利用几何特征进行“相对变量分离”，运用其几何特征求解．

例5 已知函数f(x)=-x3-3x2+(1+a)x+b(其中a<0,b∈R)．设M(a,b)为函数y=|f(x)|在区间[-2,0]上的最大值，求M(a,b)的最小值．

分析 本题是多变量分类讨论问题，若直接进行讨论，分类讨论能力、推理论证能力及运算能力要求很高，很难在较短时间内完成．注意到本题中的ax+b是直线方程的模型，故可用“相对变量分离”解决．

由最值含义知：M(a,b)的最小值，即为|f(x)|≤m在区间[-2,0]上恒成立时m的最小值，即求x3+3x2-x-m≤ax+b≤x3+3x2-x+m在区间[-2,0]上恒成立时，实数m的最小值．

记g(x)=x3+3x2-x-m，h(x)=x3+3x2-x+m，即寻找最小的实数m，使得函数y=g(x)，y=h(x)在区间[-2,0]上的图像能被一条直线分隔开．

图6

函数y=h(x)的图像均在l1的上方．

设函数y=g(x)在点C(x1,g(x1))处的切线为l2，且l2∥l1，即

解得

评注 变量分离法或“相对变量分离法”可以避开分类讨论的锋芒，从变量、最值、几何等角度讨论求解．“相对变量分离法”注重分离出相关的几何模型，并运用该几何模型的性质和特征求解．

3 精题集萃

1.若a>0且a≠1，设p=loga(a3+a+1)，q=loga(a2+a+1)，则p，q的大小关系是

( )

A．p=qB．p

C．p>qD．无法比较

2．已知f(x)是定义在[-4,4]上的奇函数，当x>0时，f(x)=-x2+4x，则不等式f[f(x)]

( )

A．(-3,0)∪(3,4]

B．(-4,-3)∪(1,2)∪(2,3)

C．(-1,0)∪(1,2)∪(2,3)

D．[-4,-3)∪(-1,0)∪(1,3)

( )

4.从6人中选4人到4个城市学习游览，每人只游览1个城市，且这6人中甲、乙2人不去丙城市学习游览，则不同的选择方案共有________.

5.设a，m∈R，集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，C={x|x2-mx+2=0}，且A∩B=A，A∩C=C，则实数a的取值范围为______，实数m的取值范围为______.

6.已知实数x满足|x|≥2且x2+ax+b-2=0，则a2+b2的最小值为______.

参 考 答 案

1．C 2．D 3．A

7．(-∞,0)

8．解 当n=1时，

又an>0，从而a1=7．

即

(an+an-1)(an-an-1-2)=0.

又an>0，从而

an-an-1=2,

于是

an=2n+5,

当n≤3时，

Tn= 7+…+2n+5-(2+…+2n)=

n2+6n+2-2n+1.

当n>3时，

Tn= 5+5+3+24+…+2n-(13+…+2n+5)=

2n+1-n2-6n+24,

因此

9．解 将参数a作为主变量可避免分类讨论.

h′(x)=3x2-x3=x2(3-x),

从而h(x)在[2,3]上的最小值为4,于是g(a)的最小值为4．

图7 图8

2017-01-27；

2017-02-25

冯海容(1974-)，男，浙江黄岩人，中学高级教师.研究方向：数学教育．

O122

A

1003-6407(2017)05-32-06