●袁一丹(桐庐中学 浙江桐庐 311500)●施刚良(德清县第三中学 浙江德清 313201)

一个优美不等式的证明及推广*

●袁一丹
(桐庐中学 浙江桐庐 311500)
●施刚良
(德清县第三中学 浙江德清 313201)

文章利用代数和三角证法证明了安振平老师提出的第6个不等式，并找到了此题命制的三角背景，最后借助代数证法对第6个不等式作了相应的推广，并给出它的下界.

凹凸性；柯西不等式；代数法；三角法

安振平老师在文献[1]中提出了26个优美不等式供有兴趣的读者研讨，此后得到了全国各地不等式爱好者的积极响应.笔者对第6个不等式产生了好感，陷入深思并反问自己：这是个代数不等式，应该可以用代数法证明吧？

在证明此不等式之前，先给出以下引理.

x2y2+y2z2+z2x2+2xy2x+2yz2x+2zx2y≥3(xy2x+yz2x+zx2y)=3xyz(x+y+z)=3xyz.

同理可得

于是

著名数学家波利亚说过：“当你找到第一个蘑菇或做出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长的.”考虑到一些代数不等式往往可以用三角加以转化，联想到已知条件“x,y,z是正实数，且满足x+y+z=1”，于是设

著名数学家波利亚又说过：“没有任何一个题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做；在经过充分的研究和观察以后，我们可以将任何解题方法加以改进；而且无论如何，我们总可以深化我们对答案的理解.”尽管三角证法非常简洁和优美，但与代数证法相比，后者更有味道——蕴含着新的结果，根据上面的引理1，结合代数证法的过程，笔者发现还可以将第6个不等式加以推广：

推广1 设x,y,z是正实数，且满足x+y+z=1，则

利用几何平均不等式可知

综合上面的讨论，得到了如下更加优美的不等式：

推广2 设x,y,z是正实数，且满足x+y+z=1，则

[1] 安振平.二十六个优美的不等式[J].中学数学教学参考：上旬，2010(1/2)：136.

2017-02-20；

2017-03-21

袁一丹(1981-)，女，浙江桐庐人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O122.3

A

1003-6407(2017)05-31-02