江苏省淮阴中学新城校区 韩先丽

例谈中考数学中最值问题的解决策略

江苏省淮阴中学新城校区 韩先丽

随着新课标的实施与推广，近几年全国各地的中考试卷中出现了许多与最值有关的数学题目。这类问题具有较强的开放性和探索性，设计又新颖，能有效地考查学生的数形结合、动手操作能力，有利于培养学生的探究意识和创新精神，很受命题者的青睐。这类问题形式多样，能考查学生与多方面知识的整合和运用能力，已逐步成为中考试卷中的一个亮点。在此采撷几例中考试题加以归类浅析，供同行探讨。

一、与不等式相结合的最值问题

例1 （南京中考）铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为cm。

解：设长为3 x cm，宽为2 x cm，由题意，得：5x+30≤160，

解得x≤26，故行李箱的长的最大值为78cm。

点评：本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系，建立不等式。

二、转化为二次函数解决的最值问题

例2 （苏州中考）如图1，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA。设PA=x，PB=y，则x－y的最大值是 。

图1

图2

解：如图2，作直径AC，连接CP，∴∠CPA=90°，

∵AB是切线，∴CA⊥AB，∵PB⊥l，

∴AC∥PB，∴∠CAP=∠APB，

当x=4时，x-y有最大值是2。

点评：此题考查了切线的性质。平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键。

三、利用轴对称解决的最值问题

例3 （宿迁中考）如图3，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是 。

图3

图4

解：如图4，连接AE，AP，

∵点C关于BD的对称点为点A，∴PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值。

∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点，∴BE=1，∴

点评：此题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识。根据已知及两点之间线段最短可得AE就是PE+PC的最小值是解题关键。

例4 （连云港中考改编）某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，如图5，已知AB=8，P是线段AB上的一动点，分别以AP，BP为边在同侧作正方形APDC和正方形PBFE。若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值。

图5

如图6，分别过点G、O、H作AB的垂线，垂足分别为点R、S、T，则四边形GRTH为梯形。

∵点O为中点，

∴点O的运动路径在与AB距离为4的平行线上。

由题意知MN=6，点P在线段MN上运动，且点O为GH中点，

如图7，作点M关于直线XY的对称点M′，连接BM′，与XY交于点O。

由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM′最小。

图6

图7

点评：本题是中考压轴题，难度较大。解题难点在于分析动点的运动轨迹，需要很好的空间想象能力和作图分析能力。此外，本题还综合考查了二次函数、整式运算、四边形、中位线、相似、轴对称与勾股定理等众多知识点，是一道好题。

四、对教学的启示

1.重视“四基”，提升思维品质

2011年版《数学课程标准》提出了学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。较之之前的课程要求，新增了基本思想和基本活动经验。为了体现数学的本质，这就要求课堂教学中要善于引导学生归纳并体会数学中常用的思想方法，如：分类讨论、数形结合、类比等数学思想。为了体现学生的主体地位，这就要求教师要从学生的角度去设计一些贴近生活，利于操作，学生感兴趣并积极参与的活动，并让学生在活动中独立思考、主动探索、合作交流，使学生能够通过活动，理解和掌握基本的知识和技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验。

2.培养“四能”，善于反思创新

2011年版《数学课程标准》提出“体会数学知识之间的联系……增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”，这就要求教学设计环节中要有学生发现和提出问题的平台；教学探索环节中教师要退居二线，不可包办、代办，要突出学生的主体地位，引导学生要有自主思考，合作探究的数学活动意识。从历年中考立意来看，“四能”不仅要求学生会根据已有的数学知识和数学思想方法分析和解决提出的问题，更要求学生有发现和提出问题的能力，这是要求学生会知识迁移，是对学生创新能力的要求。这些都需要我们在今后的教学中加以重视和培养。