李 楠，李秀坤，刘彩虹

（1.哈尔滨工程大学 a.水声技术重点实验室；b.水声工程学院，哈尔滨 150001；2.东北电力大学 信息工程学院，吉林132012）

对称Alpha稳定分布噪声下的Duffing振子检测方法

李 楠1a，b，2，李秀坤1a，b，刘彩虹1a，b

（1.哈尔滨工程大学 a.水声技术重点实验室；b.水声工程学院，哈尔滨 150001；2.东北电力大学 信息工程学院，吉林132012）

Duffing振子是利用系统对与策动力同频的小信号敏感而对噪声免疫实现微弱信号检测，特定分布下的噪声激励Duffing振子系统不会发生相变是应用该方法的前提条件。文中主要研究了服从Alpha稳定分布的噪声激励Duffing振子产生相变的鲁棒性问题，研究结果表明Duffing振子相变在Alpha稳定分布源的激励下为小概率事件。为消除小概率相变的影响，利用多支路并行检测及多数判决准则对常规的Duffing振子检测方法进行改进，即将待测信号分段截短周期延拓后送入多个并行Duffing振子检测单元，若检测单元多数发生相变，必然是由于弱目标信号而非噪声激励所致，即可判定检测信号中包含目标小信号。将该方法应用于水下目标回波信号的检测中，实测数据处理结果验证了该方法是有效的。

Duffing振子；对称Alpha稳定分布；小概率事件；多支路并行检测

Key words:Duffing oscillator;symmetricα-stable distribution;small probability event; multi-branch parallel detection

0 引 言

强背景噪声下的弱信号检测一直是故障诊断、通信、雷达、声纳及生物医学等领域研究的热点问题，传统信号处理方法对这类信号的检测能力有限，非线性动力学的发展为强噪声背景下的微弱信号检测开辟了一条新的途径。基于Holmes的Duffing振子的微弱信号检测一直是国内外学者研究热点问题，研究方向之一是对Duffing振子随机共振现象的研究，即在特定系统参数下非线性系统、弱信号与噪声三者产生协同作用，一部分噪声能量转移到信号身上使系统发生随机共振现象从而实现弱信号检测。Duffing振子的随机共振研究始于1989年[1]，随后，国内学者康艳梅首先基于绝热近似理论研究了弱噪声极限下受小幅低频周期力驱动的二维布朗运动的随机共振现象，得出了一些有意义的结论[2]。韩祥临等[3]利用泛函广义变分迭代原理得到了广义Duffing扰动振子随机共振机理的近似解。冷永刚等[4]以Kramers逃逸速率为基础，建立了Duffing振子随机共振的判别函数，阐述了Duffing振子在不同噪声强度及信号频率输入条件下的广义调参随机共振规律。赵志宏等[5]研究了Duffing系统噪声强度与信噪比及不同频率正弦信号与信噪比的关系，分析了阻尼比参数对随机共振的影响。上述研究取得的成果均是基于理论推导或在数值仿真层面上实现，应用于实际还存在一定困难，这是因为随机共振现象是在某一噪声强度下达到最佳输出，随着噪声强度的减弱或增强系统的共振现象逐渐变弱。通常实测信号中的噪声强度是未知的，并且可能是随机变化的，通过调节噪声强度诱导随机共振比较困难。另一研究方向是利用Duffing振子对参数及初始值的敏感性实现微弱信号检测。自1992年Birx[6]首次提出了应用Duffing混沌系统检测微弱信号以来，国内外众多学者对Duffing系统混沌机理进行分析，将研究重点放在如何从较低信噪比中检测出微弱的周期信号[7-9]。李月等[10]通过对Duffmg方程中的非线性项进行修正，提出了色噪声背景下检测微弱信号的新模型，检测信噪比下限达到-111.46 dB，且对高斯色噪声下畸变正弦信号也有一定的检测能力。李月和吴等[11-12]改进了单个Duffing振子检测模型，提出采用双耦合及环形耦合振子实现微弱信号检测，进一步提高了检测性能及抗噪性能。上述研究成果均是在高斯分布的白噪声或色噪声下得出的，然而真实世界的噪声如音频信号、水下声纳采集的信号、雷达和卫星通信接收信号中的噪声常常是非高斯的、并伴有显著的脉冲特性[13]。研究特定分布噪声下的Duffing振子系统特性对实际工程应用具有重要意义。

传统信号处理方法通常将背景噪声假设为满足中心极限定理的高斯分布，但有研究成果表明，对称Alpha稳定分布是符合自然噪声产生机制和传播条件的极限分布，能更准确地描述真实噪声的物理模型[14-16]。利用Duffing振子对该类背景噪声下的信号检测时必然遇到一个基础性的问题，即服从对称Alpha稳定分布的源信号激励Duffing振子时系统是否会发生相变及相变的程度如何。本文重点研究了服从对称Alpha稳定分布噪声单独作用于Duffing振子时系统相态的变化情况，在此基础上改进了常规Duffing振子检测方法，将多支路并行检测与多数判决结合实现微弱信号检测。该方法对接收数据进行分段截短及周期延拓预处理，将重构的序列矩阵送入Duffing振子阵列进行多支路并行检测，综合各支路基本单元的输出结果采用多数判决准则进行检测，从而降低了检测虚警概率。本文在水下干扰信号特性服从对称Alpha稳定分布情况下，将多支路并行检测Dufifng振子方法应用于水下目标弱信号检测，验证了该方法的可行性及有效性。

1 Alpha稳定分布理论

1.1 Alpha稳定分布统计描述

Alpha稳定分布最初由Lévy在1925年研究广义中心极限定理时提出，它是唯一满足广义中心极限定理的分布，很多不满足经典的中心极限定理的数据都可用稳定分布来描述，是高斯分布的推广分布形式。Alpha稳定分布的概率密度函数存在且连续（除了某些特殊参数外概率密度函数没有统一封闭形式），因此，通常采用特征函数来描述。

Alpha稳定分布的特征函数为：

（1）式中参数含义如下：

① 参数α∈（0，2]称为特征指数，决定该分布脉冲特性的程度，当α=2时，分布即为高斯分布。α值越小，所对应分布的拖尾越厚，脉冲特性越显著。

② 参数γ≥0为分散系数，是相对于均值的分散程度，类似于高斯分布中的方差。

③ 参数a为位置参数，若1＜α≤2，则a表示均值，若0＜α≤1，则a表示中值。

④ 参数-1＜β＜1称为对称参数，用于确定分布的斜度。

若满足β=a=0时，该分布为对称Alpha稳定（Symmetricα-stable，SαS）分布，其特征函数为下式所示：

不同α参数下对称α稳定分布的概率密度函数如图1所示，由图中可以看出α越小，分布拖尾越厚，表明偏离中心值的样本越多。α=1，β=0时，稳定分布与柯西分布一致；α=2时，稳定分布与高斯分布一致。

1.2 对称α稳定分布的参数估计

(2)首先，自动机A接受安全属性的否定,也就是接受的是坏前缀，所以M中的接收状态集F′是系统的不安全状态.其次，在M构造过程中删除了从初始状态不可达状态以及与监控属性无关的状态，而这些状态相对于φsafe来说是安全状态，因此t时刻系统安全性的概率Prt(M

由于对称Alpha稳定分布的概率密度函数不存在清晰明确的表达式，传统依赖于显式的概率密度函数数学统计方法不再适用，因此人们可以采用数值计算的方法估计稳定分布的参数。常用方法有最大似然估计法、基于样本分位数参数估计法、基于样本特征函数的参数估计方法及基于负阶矩方法。在对实测信号分析处理时，通常信号的先验知识未知，常采用基于负阶矩方法中的方法进行参数估计[17]。

其中：N是样本总数，Yi是独立同分布的观测值，则α和γ可由（6）式和（7）式估计得到：

其中：Ce=0.577 215 66…是Euler常数。

图1 不同α值时对称α稳态分布概率密度函数Fig.1 The probability density function of a symmetric α-stable distribution for differentαvalue

对称Alpha稳定分布的对称参数限定为β=0；位置参数a可根据α估计值确定，当α＞1时，样本均值是位置参数a的一致估计，1≥α＞0，样本中值是位置参数a的一致估计。

2 对称Alpha稳定分布噪声下Duffing振子性能分析

2.1 对称Alpha稳定分布噪声激励下Duffing振子相变鲁棒性分析

目前，已有的研究成果主要针对Duffing振子在高斯分布的白噪声及色噪声背景下微弱信号的检测能力进行了深入研究，研究指出在统计意义下零均值的白噪声及色噪声都不会改变系统原有运行轨迹。Duffing振子对服从对称Alpha稳定分布噪声的免疫力如何，即对称Alpha稳定分布噪声激励Duffing振子是否会发生相变，是利用Duffing振子实现微弱目标信号检测的前提与基础。

检测系统采用Duffing-Holmes方程：

表1 L不同的噪声序列激励Duffing振子系统发生相变的概率Tab.1 The probability of phase-state transition when the Duffing oscillator system is excited by the truncated noise of different length

从表1及图2可得出如下结论：

（1）噪声序列长度在L＜45&L≥105时，Duffing振子系统发生相变概率为零，系统相态稳定，不会引起系统相变导致误判，这一稳定的表现可用于识别微弱信号是否存在。在实际处理过程中，可视实际需要选取数据长度；

（2）噪声序列长度在45≤L≤104范围内时，出现小概率的Duffing振子相态变化。在分析过程中发现：即使序列长度L相同，引起混沌相态变化也比较复杂，系统相态呈现混沌态、过渡过程周期态、混沌/大尺度临界态、大尺度周期态等多种相态表现形式，表明系统相变具有一定的随机性。由图2可知，在噪声的激励下Duffing振子系统由混沌转变为大尺度最大概率为0.07，且出现次数百分比仅为3.3%，出现概率小，次数少，基本可认为是小概率事件。在实际检测过程中，可增加检测判决次数，采取多数判决准则降低误判概率；

图2 混沌系统相变概率直方图Fig.2 The probability histogram of the phase-state of chaotic system

（3）噪声序列长度L≥120时，Duffing振子系统出现相变概率基本为零，由于表中篇幅有限省略并未列出。

2.2 Duffing振子对噪声强度的检测能力分析

在高斯噪声条件下，通常采用对数噪声信号功率比定义信噪比（SNR-signal to noise ratio）。但符合SαS分布的随机噪声，由于不存在有限的二阶矩，致使其方差变得没有意义。因此，需要对信噪比定义进行修正如下：

其中：S表示待检信号平均功率，γv为对称α稳定分布噪声的分散系数。当α=2时，对称Alpha稳态分布退化为高斯分布，则为高斯分布方差

根据（10）式定义，通过在对称Alpha稳定分布的噪声中改变加入的周期信号幅值调整信噪比，周期信号频率f=0.06 kHz，讨论噪声强度对Duffing振子弱信号检测能力的影响。大量仿真结果表明，可检测信号的最低信噪比为SNR=-16.302 9 dB，仿真结果见图3。

图3 （a）Duffing振子输入信号、输出信号时域信号波形图；（b）Duffing振子系统相图Fig.3(a)Input signal and output signalwaveform of Duffing oscillator in time domain;(b)The phase-state diagram of Duffing oscillator

3 多支路并行Duffing振子检测方法

基于1，2章的理论分析及仿真研究，对常规Duffing振子检测方法进行改进。改进方法将多个Duffing振子构成并行检测阵列，调整参数使每个振子处于混沌/大尺度临界状态；接收信号经带通滤波、分段截取及周期延拓后重构为M×N维时间序列矩阵（M取奇数便于多数判决），将M路序列送入并行的基本单元检测，若阵列中多数Duffing振子发生相变，由于对称Alpha稳定分布噪声引起系统相变为小概率事件，则多数Duffing振子相变必定是由待检信号中含有与策动力同频弱周期信号激励所致。并行检测多数判决消除了小概率事件影响，提高了检测准确率。其检测流程框图见图4所示。

基本检测单元由周期延拓、Duffing振子微分方程龙格—库塔法求解和相轨迹判决三部分构成。在实际检测过程中，存在由于待检时间序列中所包含周期信号的周期数较少不足以激励Duffing系统发生相变而产生误判的情况。本文给出的解决方案是对待检信号时间序列分段截短周期延拓构建新的子波序列作为Duffing振子检测系统的信源，周期延拓示意图见图5，T1=T2=…Ti=…=TM为待测信号的周期，i=1，2…M为支路下标，N为周期延拓倍数，通常N不小于15。

图4 Duffing振子检测流程图Fig.4 Detection principle diagram of Duffing oscillator

图5 分段周期延拓示意图Fig.5 Diagram of periodic extension

系统输出采用多数判决准则可降低目标判决时的虚警概率，若采用单支路Duffing振子检测时系统的误判率为p，根据多数判决准则多支路的误判率为：

其中：c为Duffing振子支路总数，r为进行多数判决准则的判决支路下限。

4 实验仿真

采集某水域水下噪声及目标回波数据，验证多支路并行Duffing振子方法的检测效果，首先需对水下噪声的SαS特性进行检验（数据分析及实验结果只对本次采集的样本数据有效）。

4.1 水下噪声特性

在未放置水下目标时接收装置接收的数据为水下噪声，图6为某一组水下噪声样本的采样时序波形图。选取四组数据样本统计分析水下噪声的瞬时值概率密度分布pi（f，τ ）见图7，横轴为归一化幅值。由图7可知，水下噪声的瞬时值概率分布具有“中心对称性”，用高阶统计量偏斜度Sk和峭度Ku至少有一个不恒为零及样本方差是否收敛检验数据稳定分布的高斯性，四组实测样本数据的偏斜度和峭度统计值见表2所示，样本方差见图8。

图6 背景噪声时域波形图Fig.6 Time-domain waveform of the background noise

图7 噪声瞬时值概率密度分布Fig.7 Probability density distribution of background noise

表2 水下噪声偏斜度及峭度统计值Tab.2 The skewness and kurtosis of underwater noise

由表2可知，实测样本数据的偏斜度值Sk近似趋于零，峭度值Ku均为大于零的正数，图8中实测数据的样本方差在小样本情况下随机变化呈现区间震荡形态并不收敛于某一有限值。因此，可判定水下噪声具有非高斯分布。水下噪声分布特性是否符合对称Alpha稳定分布，可将实测样本数据与基于SαS模型（参数α=1.673 5，γ=0.15）生成数据的瞬时值概率密度进行匹配分析，图9为两者瞬时值概率密度。从图9可以看出，水下噪声的瞬时值分布以较高的精度满足对称Alpha稳定分布形式。

图8 水下噪声实测样本随样本数变化曲线Fig.8curveswith sample number of underwater noise

图9 瞬时值概率密度分布匹配分析Fig.9(a)Probability density distribution of instantaneous valuematching analysis;(b)mean square error curve

4.2 水下目标的多支路并行Duffing振子检测法

采用本文提出的多支路并行Duffing振子检测方法对水下回波信号进行检测，设置Duffing振子阵列数M=5，对采集样本数据分段截取10个发射信号周期的数据点数进行周期延拓后送入Duffing检测基本单元阵列，各路基本检测单元输入及输出时间序列波形及系统相图见图10。由图10可知，系统输入时间序分段截短后经周期拓延，将其送入检测阵列，当发生由混沌态向大尺度周期态相变时系统输出时间序列波形为稳定的周期序列。由系统相图可看出，图10（a）、（d）系统相轨迹经短暂过渡状态进入大尺度周期态，图10（b）、（c）系统相轨迹直接进入大尺度周期态；图10（e）系统相轨迹显现间歇混沌态。根据多数判决准则，结合输出时域波形及系统相轨迹结果，5条支路中有4条支路出现由混沌态向大尺度周期态的相变，即可认为待检测信号中存在弱CW目标回波信号。

图10 实验Duffing振子系统相图Fig.10 The phase-state diagram of the Duffing oscillator in the lake experiment

5 结 论

本文以对称Alpha稳定分布的噪声下Duffing振子的微弱信号检测能力为出发点，研究了对称Alpha稳定分布的噪声激励Duffing振子发生相变的鲁棒性问题，研究发现服从对称Alpha稳定分布的噪声激励Duffing振子系统发生相变为小概率事件，Duffing振子对其具有一定的免疫力，该结论为实现对称Alpha稳定分布的噪声下的弱信号检测提供了依据。为消除对称Alpha稳定分布的噪声激励下Duffing系统的小概率相变因素，改进了常规的Duffing振子检测方法，将待检测数据进行分段截取进行周期延拓，之后送入多个并行Duffing振子基本单元进行检测，综合多个检测单元结果采用多数判决准则给出检测结果。根据服从对称Alpha稳态分布的变量不存在二阶矩对信噪比进行了修正，数值仿真实现了信噪比为-16 dB的目标信号检测。同时，湖试实验数据检测结果验证了多支路并行检测Duffing振子方法的可行性及有效性。

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Detection method of the Duffing oscillator under symmetric Alpha-stable noise

LINan1a,b,2,LIXiu-kun1a,b,LIU Cai-hong1a,b
(1a.Acoustic Science and Technology Laboratory;b.College of Underwater Acoustic Engineering,Harbin Engineering University, Harbin 150001,China;2.College of information Engineering,Northeast DianliUniversity,Jilin 132012,China)

Duffing oscillator own the property of sensitivity to small signal and immune to noise,which can be used to detectweak signal.The precondition of applying thismethod is that the phasemotion of the system does not transit by excitation of the noise under the specific distribution.Duffing oscillator subjected to excitation by noise under symmetric Alpha-stable distribution,the robustness of the phase-state transition is studied.The simulation results show that the phase-state transition of the system is a small probability event.In order to eliminate the effect of small probability event,amulti-branch parallel detection method of the Duffing oscillator is proposed.Themeasured signal is truncated and periodic extended,then processed signals are sent tomulti-branch parallel detection units.If phase state of themost branches transit in large periodic state,it is due to the excitation of small target signal rather than the noise.Namely,the detected signal contains the target signal.The proposedmethod is applied to the detection of underwater target echo signals,and the results show that thismethod is effective.

U661.1

：Adoi:10.3969/j.issn.1007-7294.2017.01.011

2016-11-24

国家自然科学基金资助项目（51279033）；黑龙江省自然科学基金资助项目（F201346）

李 楠（1973-），女，副教授，E-mail：jllinan@163.com；

李秀坤（1962-），女，教授。

1007-7294（2017）01-0090-09