郭瑜超，王立凯，段世慧

（中国飞机强度研究所，西安，710065）

复杂多边形蜂窝夹芯面内等效剪切模量研究

郭瑜超，王立凯，段世慧

（中国飞机强度研究所，西安，710065）

针对一种复杂的多边形蜂窝夹芯，将蜂窝胞壁简化为梁，主要考虑弯矩对胞壁变形的影响，利用虚功原理计算蜂窝胞元在剪切载荷作用下的变形，推导出蜂窝夹芯面内等效剪切模量的解析表达式。可知：在胞元尺寸不变的条件下，蜂窝夹芯面内等效剪切模量随胞元长斜边与垂直方向夹角的增大而增大，随胞元短斜边与垂直方向夹角的增大而减小。最后建立蜂窝胞元的有限元模型进行数值分析，数值分析结果与理论分析结果误差在2%以内，证明了理论分析方法的正确性。

多边形；蜂窝夹芯；剪切模量；欧拉梁；虚功原理

0 引 言

蜂窝夹层结构是由上下蒙皮和周期性多孔蜂窝夹芯构成的轻质结构材料，蜂窝夹层结构由于既能满足飞行器对热防护系统质量的要求，又能解决防热、隔热、承载一体化设计难题而被越来越广泛地应用于航空航天领域[1～4]。

传统的蜂窝夹芯一般是指六边形蜂窝夹芯，国内外针对其传热特性和刚度特性进行了大量研究。随着研究的进展，出现了很多特殊类型的蜂窝夹芯，例如P.Innocenti等提出的不规则多边形蜂窝夹芯（见图1）,此型蜂窝夹芯传热系数及刚度会随着蜂窝胞壁的长度及夹角变化产生较大变化，可设计性较强，且通过改变胞壁的长度及夹角可转换为常见的六边形蜂窝或内凹型蜂窝，因此国内外针对其刚度及传热特性进行了一些研究，文献[5]和文献[6]等讨论了蜂窝夹芯的面内刚度及沿高度方向的传热系数；文献[7]研究了此蜂窝结构的耦合传热系数；文献[8]使用不同方法研究了此类不规则多边形蜂窝夹芯面内两正交方向弹性模量及泊松比；但针对此类蜂窝夹芯的面内剪切模量的研究较少。

本文针对一种复杂的多边形的蜂窝夹芯（图1），首先确定研究的蜂窝胞元，并将胞壁简化为欧拉梁；利用虚功原理，主要考虑弯矩对胞壁变形的影响，计算胞元在剪切载荷作用下的变形；进一步根据剪切模量的定义，计算出蜂窝夹芯的面内等效剪切弹性模量，并详细讨论了蜂窝胞壁长度及夹角对蜂窝夹芯面内等效剪切模量的影响。

1 面内剪切模量定义

一般情况下，在研究蜂窝夹芯面内等效弹性模量时，将蜂窝夹芯简化为二维异性结构，对二维正交结构力学性能的描述一般包括两个正交方向的弹性模量和泊松比以及面内剪切模量。剪切模量是材料的力学性能之一，是材料在剪切应力作用下，在弹性变形比例极限范围内，切应力和切应变的比值。

图2为剪切形变示意，图2中的立方体在xy平面内的剪切模量可以表示为[9]

式中τxy为立方体受到的剪力，τxy=F/(LW)；γxy为xy平面内的剪应变，γxy=Ux/H；Ux为上表面产生沿x轴的位移；F为均布剪切载荷。

2 蜂窝面内剪切模量理论分析

2.1 虚功原理

为了计算蜂窝夹芯的面内剪切模量，需要首先计算蜂窝夹芯在面内剪切载荷作用下的变形。在计算蜂窝夹芯面内变形时，常用的方法是将蜂窝胞壁简化为梁，然后使用欧拉梁理论计算蜂窝各个胞壁变形进行叠加，在此过程中可利用虚功原理，即任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移时所做的总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功。为了从虚功原理求得位移，需建立一个与待求广义位移对应平衡的力状态，若这个平衡的力状态是对应于待求广义位移的一个单位广义力状态（将单位广义力记作），单位广义外力在虚位移时所做的总虚功恰好等于待求的广义位移值，这样就能通过变形功的计算直接求得待求的位移值[10]。

基于上述思路，首先将蜂窝胞壁简化为梁，并将待求广义位移计作∆，由虚功原理可以得到：

式中分别为单位广义力状态中梁的轴力、剪力和弯矩；表示对所有梁求和；积分上限l为梁的长度；分别为载荷作用下待求位移结构的虚轴向变形、虚剪切角和虚曲率。

假设材料处于线弹性状态，载荷作用下待求梁结构的轴力、剪力、弯矩分量为，则可以得到虚位移中的虚变形为

式中EA，GA，EI分别为梁结构的抗拉压、抗剪和抗弯刚度；k为梁截面剪应力不均匀分布系数。

将式（3）代入式（2）可以得到实际荷载下的位移计算公式：

利用式（4）可以求得任意载荷作用下梁结构的广义位移，这种通过建立平衡的单位广义力状态，利用虚功原理求位移的方法称为单位荷载法。

当梁比较细长时，由于剪切变形和轴向变形对位移的贡献很小，一般主要考虑弯矩对位移的影响，式（4）可以简化成为

2.2 蜂窝面内剪切模量

一般在研究蜂窝夹芯的机械性能时，首先需要确定蜂窝夹芯的典型胞元，然后针对蜂窝胞元进行研究，针对此多边形蜂窝夹芯确定的胞元如图3所示。考虑到蜂窝胞元的对称性，为简化计算过程，取蜂窝胞元的1/4并将胞壁简化为梁，用以计算横向（x向）载荷作用下结构的变形；由于在横向载荷作用下，胞壁AE、DF主要为轴向变形，对结构总体横向变形影响较小，可以忽略，因此简化后的计算模型如图4所示。

为计算结构在横向载荷P作用下的变形，需首先计算结构在横向载荷作用下的弯矩。并将蜂窝胞壁划分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ段，并分别建立局部坐标系。

由于在加载端有相邻蜂窝胞元胞壁的约束，可以假设加载端没有扭转变形，但需要在此施加一个附加弯矩M，用于模拟这种约束，根据加载端扭转角为零可以计算得到此附加弯矩M的值，M=P(lc osθ+ 2acosφ)/2，根据端部集中载荷P和附加弯矩M计算Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ段内弯矩：

同理，假设加载端受到x方向的单位载荷 1X=，可以得到在单位载荷作用下梁结构的内部弯矩：

将式（6）、式（7）代入式（5），可以得到载荷P作用下蜂窝胞壁x方向的变形：

式中I为蜂窝胞壁的惯性矩，I=bt3/12，其中t为蜂窝胞壁的厚度；b为蜂窝芯材的高度。

根据蜂窝胞壁x方向的变形以及蜂窝几何参数，可以得到蜂窝沿x方向的等效应变为

利用蜂窝受到的横向载荷P及蜂窝几何参数，可以得到蜂窝受到的等效剪切应力为

根据蜂窝面内等效剪切模量的定义，将式（9）、式（10）代入式（1）可得蜂窝面内等效剪切模量，同时消去蜂窝材料Es的影响，可得蜂窝面内等效剪切模量比为

式中Es为蜂窝材料的弹性模量；G12为蜂窝面内的剪切模量。

3 数值算例

3.1 有限元模型介绍

为了验证前面理论分析方法的正确性，在此使用PATRAN建立典型蜂窝夹芯胞元的细节有限元模型（见图5），使用航空结构有限元分析软件HAJIF进行有限元分析，通过有限元分析可以得到蜂窝胞元上边沿x方向的变形，然后通过式（1）可以得到蜂窝夹芯的面内等效剪切模量。

整个蜂窝胞元使用BEAM元建立，蜂窝胞壁的厚度为0.0 625 mm，蜂窝胞壁的长度和夹角可根据构型变化；蜂窝胞壁材料的弹性模量Es=71 000 MPa，泊松比为0.33。蜂窝有限元模型的边界条件为：蜂窝底部5、6点约束6个方向自由度；为了模拟旁边蜂窝胞元对本考核结构的支持，约束3、4点的沿z轴方向的旋转自由度及y向自由度；为了保证蜂窝胞元上边变形的协调性，约束上边1、2点的沿z轴方向的旋转自由度，同时为保证结构纯剪状态，约束上边1、2点的y向自由度；由于本文理论分析方法是建立在线弹性假设基础上的，为保证结构变形在线性范围内，在蜂窝胞元上边施加沿x方向总载为0.088 N的剪切载荷。

3.2 结果分析

通过前面的理论分析和有限元分析得到了该蜂窝夹芯的面内等效剪切模量，现将分析结果进行讨论。

一般情况下，蜂窝夹芯越密则蜂窝夹芯面内剪切模量越大，因此在讨论时需要对蜂窝胞元尺寸进行一定的约束。约束蜂窝胞元的宽度及高度不变（约束蜂窝胞元的宽度为8.33 mm，高度为14.434 mm），并约束蜂窝胞元的横边边长h=5 mm，在此基础上分别讨论长斜边的长度l及长斜边与垂直方向的夹角θ、短斜边的长度a及短斜边与垂直方向的夹角φ对蜂窝夹芯面内等效剪切模量的影响。

图6为蜂窝夹芯面内剪切模量比G12/Es与胞元长斜边长度l及夹角θ的关系示意，图6中的每条曲线都假设长斜边的长度l不变，长斜边与垂直方向的夹角θ不断变化，同时为了保证蜂窝胞元的拓扑结构不变（胞壁互不干涉、夹角θ、φ为正值），对角度的变化范围进行了限定。

由图6可知，当蜂窝胞元长斜边长度l=4 mm，长斜边与垂直方向的夹角θ在12°和90°之间变化时，蜂窝夹芯面内剪切模量比G12/Es随着角度θ的增大而增大，且曲线前半段蜂窝夹芯面内剪切模量比G12/Es增大较为缓慢，曲线后半段蜂窝夹芯面内剪切模量比G12/Es增大较快，同时l=5 mm、l=6 mm的曲线都有类似的趋势。究其原因：在横向剪切载荷作用下，当长斜边与垂直方向夹角θ逐渐增大时，长斜边的弯曲变形逐渐转变为长斜边的轴线变形，当θ=90°时长斜边只有轴向变形，而结构的轴向变形值极小，因此此时蜂窝夹芯结构等效剪切模量最大。由l=4 mm、l=5mm、l=6 mm三条曲线的对比可知，在一定条件下长斜边的长度l越小，则蜂窝夹芯面内剪切模量比G12/Es越大。

图7描述了蜂窝夹芯面内剪切模量比G12/Es与胞元短斜边长度a及夹角φ的关系，图7中的每条曲线都假设短斜边的长度a不变，短斜边与垂直方向的夹角φ不断变化，同时与前面一样，为保证蜂窝胞元的拓扑结构不变，对结构尺寸的变化范围进行了限定。

由图7可知，当蜂窝胞元短斜边长度a=3.334 mm，短斜边与垂直方向的夹角φ在0°和90°之间变化时，蜂窝夹芯面内剪切模量比G12/Es随着角度φ的增大而减小，同时a=0.2 mm、a=1.667 mm的曲线都有类似的趋势。其主要原因为：当短斜边长度a确定时，随着夹角φ的增大，长斜边长度l不断增大，长斜边产生的弯曲变形增大，进而造成蜂窝胞元横向变形增大。由a=0.2 mm、l=1.667 mm、l=3.334 mm三条曲线的对比可知，在一定条件下随着短斜边的长度a增大，蜂窝夹芯面内剪切模量比G12/Es会减小。

由图6、图7对比可知：随着长斜边长度l及角度θ变化，蜂窝夹芯面内等效剪切模量比在较大范围内变化，长斜边对蜂窝夹芯面内等效剪切模量的影响较大；而短斜边长度a及角度φ变化对蜂窝夹芯面内等效剪切模量的影响相对较小。图6、图7中列举了本文理论分析和蜂窝胞元有限元分析的对比结果，由对比结果可知，理论分析结果和有限元分析结果误差在2%以内，两者基本一致，说明了本文理论分析方法的正确性。至于误差产生的主要原因为：理论分析没有完整考虑胞壁受到剪力和轴向载荷的变形；有限元计算时边界条件的选取，不容易实现理想状态的约束。

4 结 论

本文针对一种特殊的多边形蜂窝夹芯结构，对其面内等效剪切模量进行了详细研究。首先将蜂窝胞壁简化为欧拉梁，利用虚功原理，主要考虑胞壁承受弯矩对蜂窝变形的影响，计算出蜂窝夹芯在剪切载荷作用下的变形，进而计算出蜂窝夹芯结构的等效剪切应变，最终得到该蜂窝夹芯结构面内等效剪切模量的表达式，并对其进行讨论，结果如下：

a）在蜂窝胞元尺寸及拓扑结构不变的条件下，当蜂窝胞元长斜边长度l不变时，蜂窝夹芯面内剪切模量比G12/Es随着夹角θ的增大而增大；当蜂窝胞元长斜边长度l变化时，蜂窝夹芯面内剪切模量比G12/Es随着长度l的增大而减小；

b）在蜂窝胞元尺寸及拓扑结构不变的条件下，当蜂窝胞元短斜边长度a不变时，蜂窝夹芯面内剪切模量比G12/Es随着夹角φ的增大而减小；当蜂窝胞元短斜边长度a变化时，蜂窝夹芯面内剪切模量比G12/Es随着长度a的增大而减小。

最后，建立了蜂窝胞元的细节有限元模型进行有限元分析，通过数值计算得到的等效剪切模量与本文理论结果的误差在 2%以内，验证了理论分析的正确性，且理论表达式简单实用，有一定的工程实用价值。

[1] Gibson L J, Ashby M F, Schajer G S, Roberston C I. The mechanics of two dimensional cellular materials[J]. Proc Roy Soc, 1982, A382: 25-42.

[2] Mastersig, Evans K E. Models for the elastic deformation of honeycombs[J] . Compos Struct, 1996, 35(4) : 403-422.

[3] Gibson L J, Ashby M F. Modelling the mechanical behavior of cellular material[J]. Master Science and Engineering, 1989, A110: 1-36.

[4] 富明慧, 伊久仁. 蜂窝芯层的等效弹性参数[J]. 力学学报, 1999, 31(1) : 113-118.

[5] Innocenti P, Scarpa F. Thermal conductivity properties and heat transfer analysis of multi-re-entrant auxetic honeycomb structures[J]. Journal of Composite Materials, 2009, 43: 2419-2439.

[6] Bezazi A, Remillat C. In-plane mechanical and thermal conductivity properties of a rectangular–hexagonal honeycomb structure[J]. Composite Structures, 2008, 84: 548-255.

[7] 郭瑜超, 黄河, 何俊, 等. 特殊多边形蜂窝结构有效传热系数研究[J].导弹与航天运载技术, 2014(4): 36-40.

[8] 郭瑜超, 王立凯, 等. 复杂多边形蜂窝面内等效弹性参数研究[J]. 机械强度, 2016(6）, 1258-1263.

[9] 党旭丹, 王新莉, 等. X-cor夹层结构剪切模量有限元分析[J]. 武汉大学学报, 2012, 58(5): 419-424.

[10] 孙训方, 方孝淑, 关来泰. 材料力学[M]. 北京: 高等教育出版社, 2002.

Study on In-plane Equivalent Shear Modulus of Complex Polygonal Honeycomb Core

Guo Yu-chao, Wang Li-kai, Duan Shi-hui
(Aircraft Strength Research Institute, Xi’an, 710065)

For a complex polygonal honeycomb core, the cell walls are simplified as beams, mainly considering the influence of bending moment, the analytic expression for equivalent shear modulus iss obtained using the virtual work principle. From this expression：under the condition of that cells had the same size, the shear modulus increases with increasing angle between the long bevel wall and the vertical direction, decreases with increasing angle between the short bevel wall and the vertical direction. Finally, the finite element model of cell is established, and error of numerical result and theoretical result is less than 2%, which verified the correctness of theoretical analysis method.

Polygon; Honeycomb core; Shear modulus; Euler beam; Virtual work principle

V414.7

A

1004-7182(2017)02-0025-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20170206

2015-12-07；

2016-02-28

中航工业集团创新基金（2014A62340）

郭瑜超（1986-），男，工程师，主要研究方向为结构分析与软件研发