张军

摘 要：在平时教学中，将同一类型的问题进行归纳、总结出通性通法，引导学生在变化的问题中寻找不变的本质，对提高课堂效率和学生的解题能力有很大的帮助。本文基于一道中考试题的思考，对二次函数的一类最值问题的解法进行了总结归纳，在解决问题的过程中感受数学思想方法。

关键词：二次函数 最值问题 数学模型

随着新课改的进行，各地中考数学试卷异彩纷呈，尤其是二次函数的最值问题，题型灵活多样，设计新颖精巧，既继承传统又勇于创新，体现能力立意和学科本质，具有典型、示范和迁移性。在教学中，注意让学生在实际问题中理解基本的数量关系和变化规律，在变化的问题中找到不变的本质，通过转化把新问题转化为一类已解决的问题，并运用所学的知识与技能求得问题解决。

本课例是对一类中考二次函数最值问题的思考，课例设置的问题从学生的已有水平出发，贴近学生认知的最近发展区，设问由易到难、由简到繁，通过问题引领，沿着“铅垂线段——斜线段——周长——面积”主线层层推进。课例的教学设计旨在引导学生探索研究二次函数的最值问题如何转化、归一，帮助学生的数学思维逐步实现由常量数学到变量数学的飞跃，体现了笔者对于数学思想方法及数学教学的一些认识和理念，期与同仁相互切磋，敬请批评

指正。[1]

一、问题引领 探究本质 发掘这条线

针对中考试题的特征，本课例设计的引入问题围绕数学概念内涵展开，由浅入深唤醒学生对已学过的事实、法则、公式以及定义的记忆，教学设计对先前的学习材料的准确再现的内容直接陈述，引导学生探究一种解决问题的思维，较清楚的通过预设问题显示学生对某个具体问题的认识水平和思维层次。[2]

问题：如图1（图略），已知抛物线经过直线与、轴的交点B、C，与轴的另一个交点为A，点D是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）过D作DE//轴交直线BC于点E，求线段DE长度的最大值.

解法研究：（1）、（2）略；

（3）设点D（，）（）；点E在BC上，有E（，），线段.则当时，线段DE最大值为2；

功能分析：本问题的设置角度常规，解题思路宽广，帮助学生体验二次函数研究的是“数”与“形”的关系，“数”即二次函数的数量特征，“形”即为二次函数图像的几何特征，帮助学生架起“数”、“形”沟通的桥梁。继续引导学生深入研究：问题（3）中线段DE的最值求解的，帮助学生建立模型，数学方法是数学思想在数学活动中的反映与体现，在数学活动过程中，认识问题是解决问题的基础，认识线段DE的价值，汲取知识，存储模型。

二、变式探究 突出思想 用好这条线

变式教学设计实现了一类题解法套路的迁移，并巩固加深了模型的认识，在一脉相承的问题串研究中，联想类比相关题型，在题干背景条件不变的情况下，改变提问的对象，图形转化，在辨析对比中，一题多解，一题优解，打开解题思路，把学生的思维引向新的高度。

变式1：已知，上述条件不变，过点D作DFBC，垂足为点F，则求点D到直线BC的最大距离及此时点D的坐标。

解法研究：

方法1：如图2（图略），过D作DE//轴交直线BC于点E，可证△BOC∽△DFE，且OC=2，OB=4，根据勾股定理：BC=，由相似比例式得：，当DE最大时，DF取得最大值。则根据上述问题可知：设点D（，）（其中）；则当时，线段DE最大值为2，DF最大等于，此时点D坐标为（2，-3）.

方法2：如图3（图略），过点D作与BC平行的直线l，当直线l与抛物线有且只有一个交点时，此时点D到直线BC的距离是最大的。设解析式得方程，求得，代入求点D的坐标（2，-3），再利用D点坐标求最大面积。

功能分析：比较两种解法，体会这条“铅垂高”的妙处。变式的设置在原问题的基础上拓展延伸，是每个问题都建立在前面已解决的基础上，在变式的解法上培养学生的发散思維，一题多解。同时，又帮助学生体会到虽然解题的出发点不同，但最终都归一到这条“铅垂高”，总结解题的最优方案，明了解题的思路。

变式拓展：如图4（图略），过D作DE//轴交直线BC于点E，若点F在直线BC上，且四边形DFEG为矩形，求矩形DFEG的周长的最大值。[3]

解法研究：当四边形DFEG为矩形时，即DFBC，连接DE，由上述可知：△BOC∽△DFE，

则：，

故四边形DFEG的周长：.

则当点D（2，-3）时，DE最大为2，则四边形DFEG的周长最大为.

功能分析：二次函数与几何图形结合时，要从“数形结合”的角度审视，要根据矩形这一特殊图形的几何性质特征，善于发现二次函数中的这条“铅垂线”的作用，即是两者之间的纽带，也是解决问题的关键。体会“周长——铅垂高”的这一类最值问题的探究，培养学生建立几何模型，促进学生自觉构建知识结构。

三、能力培养 注重本质 用活这条线

变换角度，将不同的问题对象设置在统一的问题情景下，符合中学生的思维特征，给学生同一个舞台，不同的剧本，让他们的思维尽情舞动，在探究利用“铅垂高”求二次函数最值得路上越走越精彩。

变式2：在上述问题里其他条件不变的情况下，连接BD，CD，如图5（图略），求△BCD的面积最大值.

解法研究：过D作DE//轴交直线BC于点E，设点C到DE的距离为，点B到DE的距离为，

则

则当DE最大时，△BCD的面积取到最大值，

此时点D（2，-3），△BCD的面积最大值为4.

功能分析：本问题的设置前后呼应，因为△BCD的底BC不变，当△BCD的面积最大时，即高最大，对应上述变式1“点D到BC距离最远”的问题。帮助学生建立问题之间的联系，在数学知识体系之间建立起有助于发展意义理解的联系，体会“面积——铅垂高”的探究过程，不仅找到了问题的解决思路而且把这些思想相互联系起来，拾级而上，探寻学生对数学思想方法的领悟能力。

四、追根溯源 链接中考 用巧这条线

联系中考，遵循学生认知规律，在探索试题的路上，帮助学生把知识点循迹理线，将问题串“珠”成“链”，将方法归类择优，把原本孤立的知识点按一定的思维序列串联起来，数学思维训练实现了由厚向薄的转化，由量到质的飞跃，从线段的长度问题向几何面积问题转化的本领。

中考链接：如图6（图略），若已知抛物线经过直线与、轴的交点B、C，与轴的另一个交点为A，点D是轴下方的抛物线上一动点，连接DB，DC，设所得的△BCD的面积为S。

（1）求S的取值范围；（2）若△BCD的面积S为整数，则这样的△BCD共有 个。

解法研究：（1）（过程略）综上所述：.（2）（过程略）面积是整数的共有11个点.

功能分析：立足中考，把握中考试题的方向脉搏，研究压轴题的特征，我们在审题中发现本质，探究中体会“面积的范围问题——面积的最值问题——铅垂高”，当我们能巧用“铅垂高”这条线求出面积最值时，问题即迎刃而解。

五、教学反思 方法提炼 让自己更智慧

1.教学内容与目标分析

本课例的设计有“起步低、步子小、变式多”的特点，通过巧妙的预设、科学的变式让学生不断深入思考，建立求二次函数最值问题的基本思路——作“铅垂高”。在教学中忽略纯粹的公式记忆，重视解决问题的操作过程，领会解决问题的核心是数形结合、方程与函数、转化与化归的数学思想方法，学生经历破题的过程，启发学生自己去思考、建模探究，在探究与体会求二次函数最值问题的方法，培养和训练学生的思维能力。

2.教学设计自然生动，突出问题意识

本课例教学设计由一道中考试题引出笔者的一些思考，进而对试题的不断研究，总结出的解决二次函数一类最值问题的方法，在问题的设计过程中，从解决二次函数的“铅垂高”的最值问题为基础，层层推进，在探索问题求解过程中培养了学生的数学能力，避免“上课一听就懂，课后一做就错”的现象。

3.抓住数学思想、方法教學，突出建模教学核心

在设计的梯度上，课例通过“点——线——面”的思路设计问题，结合方程、函数、数形结合等方法，探索解决问题的本质，使一类问题归一到“求铅垂高最值”的问题。提升了学生的建模能力和逻辑推理计算能力，丰富了数学探究活动的经验，完善更新了认知结构。

“数学教学是数学思维活动的过程教学”，在教学活动中，通过教师的启发、激励、引导体现教师的主导作用，通过解决二次函数一类最值问题，关注学习过程中数学方法和思想的渗透，帮助学生优化认知结构，会一题，解一类，会一类，通一片，归纳一类题的特征，揭示数学本质，体验感受数学的通性通法，发展学生的思维。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）.北京师范大学出版社，2012.1

[2]朱建华.例谈初中数学最值问题[J].数理化解题研究（初中版），2013

[3]韦玉球，刘立明.中学数学求解最值问题的方法探寻.教育教学论坛，2014