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实数连续性诸命题的等价性的证明

2017-04-26李朋霖

新教育时代·教师版 2016年39期
关键词:开区间数集等价

李朋霖

摘 要:实数连续性诸等价命题为数学奠定了坚持基础,但目前,关于诸命题的等价性证明研究较少。为了了解实数连续性命题的结构及逻辑关系,本文介绍了实数连续性的概念及其命题描述,重点探讨了实数连续性诸命题的等价性证明。

关键词:实数连续性诸命题等价性证明

“极限”是数学分析中的基本运算,其以实数连续性为基石。而实数连续性有效区别了实数系与理数系,呈现了二者最本质的属性。对于实数而言,其最为显著的特点便是连续性,其可处理多种问题,如:呈现连续变量的变化状态,衡量不可公度线段之比等量。数学分析主要用于探讨连续变量变化规律,因此,实数的连续性对其有着积极的作用。

一、实数连续性的概念及其命题的描述

关于实数连续性的概念,不同理论对其有着差异化的描述,具体表现在以下几方面:第一,小数角度,实数为有限、无限循环、无限不循环小数;第二,戴德金角度,实数是与理数的区分;第三,康托尔角度,实数是由理数构成的基本序列;第四,魏尔斯特拉斯角度,实数为有理数集的上确界;第五,巴赫曼角度,实数为有理相关列确定的数。上述关于实数的定义,均体现出其具有连续性。

关于实数连续性命题的描述:一,单调有界数列存在极限;二,每个闭区间拥有唯一数h;三,如果非空集C有上界或者下界,则数C存在唯一的上确界或下确界;四,如果开区间集D覆盖闭区间[a,b],则D所拥有的有限个开区间均覆盖上述该闭区间;五,如果C为有界无限点集,则其最少拥有一个聚点。

二、实数连续性诸命题的等价性证明

数学分析建立基础为极限理论,该理论的基石为实数连续性,其又与有理数系有着本质区别,因此,在高等数学学习过程中全面了解与认识实数连续性具有积极的意义。关于实数连续性命题主要有:单调有界定理、有限覆盖定理、闭区间套定理、聚点及确界定理等,上述定理利用不同形式论述了实数连续性,而具体模式为数学分析发展提供了可靠保障,本文对各个命题进行了介绍,并论证其等价性。

(一)命题描述

单调有界定理:如果数列递增或递减,并有上界或下界,则数列收敛,此时,单调有界数列一定有极限。闭区间套定理:假设闭区间C拥有一定性质,则C为闭区间套,同时在实数系中拥有唯一的点。界点定理,R的子集为A,y为R的某点,在一定条件下,y可为A的内点、外点及界点,如果A的任意点均为内点,则A为开集,如果数集A不等于非空,并且不等于R,则A一定存在界点。有限覆盖定理:数轴点集S,开区间集合为H,如果点集中的任意点均含在开区间内,则H为S的开覆盖,如果H中开区间有无限或有限个数,则H为S的有限开覆盖或无限开覆盖。以有限覆盖定理为例,假设H为闭区间M的一个开覆盖,则H中可选取出有限个开区间覆盖M。确界定理:如果A为非空数集,存在实数β,在满足充要条件下,β为数集A的上确界;如果A为非空数集,存在实数α,在符合充要要求下,α为数集A的下确界;如果非空数集A拥有上界与下界,则其必然存在唯一的上确界与下确界。戴德金定理:将实数划分为两类,在满足一定条件下,可对二者进行分拆,即:实数域划分,其中包括下类与上类,以实数域R为例,将其划分为A与B,必然存在实数β,此后将获得下类最大数与上类最小数。

(二)等价性证明

在明确实数连续性各命题后,可借助闭循环回路方法证实任意两个命题等价,在此基础上,不仅了解了系统各命题,还可认识其等价性,进而利于掌握证明分析中的关键定理思想方法。下面介绍几个定理的等价证明,具体如下:

1.单调有界定理与闭区间套定理,主要是证明ξ的存在性與唯一性,具体如下:[an,bn][an+1,bn+1]→数列单调增加且有上界→数列有极限。

假设ξ→ξ∈[an,bn]。同时,ξ唯一。

2.区间套定理与有限覆盖定理,证:利用反证法,两个定理结论均不成立,即:H中的有限个开区间难以覆盖[a,b]。此后将[a,b]进行等分,使其成为两个子区间,其中最少有一个子区间难以利用H中的有限个开区间覆盖,则记其为[a1,b1],此时[a1,b1][a,b],并且b1-a1=1/2(b-a)。再将[a1,b1]进行等分,使其成为两个子区间,最少有一个子区间难以利用H中的有限个开区间覆盖,记其为[a2,b2],此时[a2,b2][a1,b1],并且b2-a2=1/2(b1-a1)。上述步骤反复后,可获得闭区间列,在其满足一定条件下,可获得区间套,其中的任意闭区间均难以利用H中的有限个开区间覆盖,在此定理中,存在唯一点,由于H为[a,b]的一个开覆盖,经证明,必然存在属于H的有限个开区间覆盖[a,b]。

3.有限覆盖定理与界点定理,证:E为非空,使用发证法,假设E在[a,b]上无界点,由于[a,b]属于有界闭集,其一定被有限个开区间覆盖,此后从[a,b]中取有限个点,各点的领域并起来可覆盖[a,b],二者矛盾,因此,假设不成立。

三、总结

综上所述,实数连续性定理形式各异,但均论述了实数集的连续性,为解决相关问题,表达式及证明方式各异,本文证明了各定理的等价性,相信,日后学习者关于实数连续性的认知将更加深刻。

参考文献:

[1]姜文玲,丁杰.实数连续性定理的等价性的一种证明[N].天津职业大学学报,2012,01:44-48.

[2]陈仕洲,吴捷云.实数系连续性八个基本定理等价性的证明[N].韩山师范学院学报,2014,02:10-33.

[3]廖学余.单圈证明——实数连续性的九个命题的等价性[N].鄂西大学学报,2012,01:87-90.

[4]杨旭.选择公理的等价命题及应用[N].四平师院学报(自然科学版),2015,01:27-45.

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