顾晓辉　杨绍普　申永军　刘进志

摘要：研究了2个谐波激励作用下含分数阶微分项的Duffing振子的一类组合共振，利用多尺度法得到了2ω1+ω2型组合共振的一次近似解析解，分析了定常解的稳定性。应用奇异性理论研究了幅频响应分岔方程，得到了开折参数平面的转迁集和所有区间上分岔曲线的拓扑结构。最后通过数值仿真分析了系统参数对组合共振幅频响应的影响。研究表明：分数阶微分项即具有阻尼特性又具有刚度特性，选择合理的分数阶微分项参数可以有效改善系统的响应特性。

关键词：Duffing振子；分數阶微分；组合共振；多尺度法；奇异性理论

中图分类号：0322；0313

文献标志码：A

文章编号：1004-4523（2017）01-0028-05

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2017.01.004

引言

分数阶微积分发展至今已有超过300年的历史，近些年来，基于众多学者在其定义、性质、计算方法等方面的不懈努力，分数阶微积分正逐步由抽象的数学概念走向工程应用，尤其在描述黏弹性材料本构关系方面和控制工程领域深受关注。

在动力学方面，目前主要集中于含分数阶微积分项的动力系统振动特性的研究，wahi应用平均法研究了含分数阶阻尼项的非线性时滞系统的响应特征，发现了一些分数阶系统的特有现象。shen提出了等效线性阻尼和等效线性刚度的概念，分析了含分数阶微分项的线性、非线性振子的动力学响应。Rossikhin基于R-L定义，应用多尺度法推导了Duffing振子的二阶近似解，并指出了一些学者的错误观点。Du研究了一类分数阶微分方程的初值问题及其求解方法。……