于建伟

《全日制普通高中数学新课程标准》指出“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。”而解题能力是数学思维能力的重要组成部分，在日常的教学实践中我们发现学生由于不同原因导致了在数学解题中出现了问题，本文就高中学生在解析几何章节解题中出现的几种问题浅谈一下高中学生数学解题能力的培养。

一、审题不清导致出错

例1. 直線x=π-3的倾斜角等于（ ）

A.0 B.π-3 C.π-2 D.π

分析：学生解题匆忙，望文生义，以为π-3就是倾斜角以致出错。

解析：选C 直线x=π-3，知倾斜角为π-2.

提醒学生在日常的解题过程中培养良好的解题习惯，提高解题的准确率。

二、数学概念理解错误导致解题出错

例2. 过点M（3，-4），且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 .

分析：学生在解题中没有准确理解“截距”的概念，错认 “截距”为 “距离”，认为截距只能为正值，导致解题出错。

解析：①若直线过原点，则k=- 4-3，所以y=- 4-3x，即4x+3y=0.

②若直线不过原点.设x-a + y-a =1，即x+y=a.

则a=3+（-4）=-1，所以直线的方程为x+y+1=0.

准确的理解概念是数学解题的前提和基础，因此我们要引导学生透彻理解概念，准确把握题意。

三、考虑问题不全导致解题出错

例3. 求经过点A（-5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.

分析：学生在待定系数法设截距式方程时，忽视了截距为0的特殊情况。

解析：当直线不过原点时，设所求直线方程为x-2a + y-a =1，将（-5，2）代入所设方程，解得a=- 1-2，所以直线方程为x+2y+1=0；当直线过原点时，设直线方程为y=kx，则-5k=2，解得k=- 2-5，所以直线方程为y=- 2-5x，即2x+5y=0.故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.

引导学生注意总结常见概念和题型中易出错的地方，考虑问题全面，积累解题经验。

四、基本题型的基本解法不熟练导致思路受阻

例4. 若直线x-a + y-b =1（a>0，b>0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：学生在解题时对基本不等式中1的代换求最值的方法遗忘导致解题受阻。

解析：选C 将（1，1）代入直线x-a + y-b =1得1-a + 1-b=1，a>0，b>0，故a+b=（a+b）（1-a + 1-b）=2+ b-a + a-b ≥2+2=4，等号当且仅当a=b时取到，故a+b的最小值为4.

提醒学生注意总结典型题型的典型解法，提高自己的解题能力。

五、只会死搬硬套，不知具体问题具体分析导致解题受阻

例5. 已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切，圆心在直线y=-x上，则圆C的方程为（ ）

A.（x+1）2+（y-1）2=2

B.（x+1）2+（y+1）2=2

C.（x-1）2+（y-1）2=2

D.（x-1）2+（y+1）2=2

分析：学生解题时凭感觉用待定系数法设未知数列方程运算量过大，容易出错，没有具体考虑到题中三条直线的特殊性。

解析：选D 由题意知x-y=0 和x-y-4=0之间的距离为=2，所以r=；又因为y=-x与x-y=0，x-y-4=0均垂直，所以由y=-x和x-y=0联立得交点坐标为（0，0），由y=-x 和x-y-4=0联立得交点坐标为（2，-2），所以圆心坐标为（1，-1），圆C的标准方程为（x-1）2+（y+1）2=2.

提醒学生具体问题具体分析是数学解题的基本要求，没有一成不变的题型和方法。

六、常见数学思想方法不熟练，导致思路受阻

例6. 已知圆O：x2+y2=1，直线x-2y+5=0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为 .

分析：学生只看到两端点都是动点的|PA|线段，不知道把它用转化思想转移到只有一个动点的|PO|线段，陷入解题陷阱。

解析：过O作OP垂直于直线x-2y+5=0，过P作圆O的切线PA，连接OA，易知此时|PA|的值最小.由点到直线的距离公式，得|OP|==.又|OA|=1，所以|PA|==2.

教师授课讲授解题方法时不要忘穿插数学常见的解题思想，帮助学生提高解题能力。

七、运算能力不足导致出错

例7. 椭圆C +=1左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点.

当△F2AB的面积为时，求直线的方程.

分析：运算能力不足与应对解析几何中繁杂的运算，导致解题中断，是非常典型的问题。

解析：当直线的倾斜角为π-2时，A（-1，3-2），B（-1，- 3-2），S△ABF2= 1-2|AB|·|F1F2|= 1-2×3×2=3≠.当直线的倾斜角不为π-2时，设直线方程为y=k（x+1），代入 +=1得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

所以S△ABF2= 1-2 |y1-y2|×|F1F2|=|k|=|k|==，所以17k4+k2-18=0，解得k2=1（k2=舍去），所以k=±1，所以所求直线的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.

运算能力是学生解题能力的集中体现，应引起老师和学生的共同关注和下大力气解决的问题。

学生在解题中出错的路千条万条，但只有真正提高自己的解题能力，才能少犯错，不犯错，从而走到正确的解题道路上来。

注：本文为河南省教育科学研究所河南省农村学校应用性教育科研课题“高中学生在数学解题中思维障碍的成因及突破研究”成果。