巧用韦恩图拓展热点奥数题及计算机仿真
2017-04-20孙足霞蔡丽锦
孙足霞+蔡丽锦
【摘 要】本文运用韦恩图简明地解析网上最近流行的一道错了5年的奥数题（题目本身没有问题，给出的答案有问题）。同时，我们对此问题进行了拓展， 韦恩图的直观性得到了进一步的彰显，我们的答案也得到了计算机仿真结果的支持。
【关键词】罗弋事件；韦恩图；计算机仿真
0 引言
罗弋事件：2016年暑假期间，成都高新区西芯小学一名9岁男孩罗弋通过联系生活实际，推翻了一道奥数题所谓的正确答案。而在求证的过程中，家长发现这道题不仅考倒了电子科大、同济大学等高校的数学高材生，更是作为两届奥赛的考题出现，其错误答案被出版社沿用5年无人察觉。
1 奥数原题
150盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，3，…，150.将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数为______盏。
图1
图1编号为1-150的数字中，3、5的倍数韦恩图。左侧的圆圈代表3的倍数，右侧的圆圈代表5的倍数，公共部分代表既是3的倍数又5的倍数。
我们不妨来分析一下，这道题适用对象为小学三年级学生，可见难度不高，网上传言一些电子科大、同济大学等高校的数学高材生被考倒，我个人认为有些夸大其辞，如果以上是事实，只能说明他们没有引起足够的重视，不能说明试题本身有难度。我在网上阅读了一些小学课本，发现有些省份的小学教材出现了韦恩图[1-4]，例如，教科版三年级上作业本上出现了韦恩图汇编。我们将该题用韦恩图画出，如图1所示，答案显而易见150-40-20=90。理由很简单，左侧的40盏灯泡和右侧的20盏灯泡被各拉一次，因而熄灭。公共部分的10盏灯泡因为被拉两次，不受影响正常发光。翻译成小学生熟悉的数学语言为：
150-（150÷3-150÷3÷5）-（150÷5-150÷3÷5）=90
2 原题拓展
150盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，3，…，150.先将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下；最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数为______盏。
图2
图2 编号为1-150的数字中，2、3、 5的倍数韦恩图。上侧的圆圈代表2的倍数，左侧的圆圈代表3的倍数，右侧的圆圈代表5的倍数，上圆与左圆的公共部分代表既是2的倍数又3的倍数；上圆与右圆的公共部分代表既是2的倍数又5的倍数；左圆与右圆的公共部分代表既是3的倍数又5的倍数；三圆的公共部分代表2、3、 5的公倍数。
这道题虽然只增加了一遍拉线，但是难度对于小学生来说，却增加了几倍。如果采用常规方法列式计算，很容易搞混，两遍拉线有些人就迷糊了，三遍拉线可能就无所适从了。上面的韦恩图给我们提供了新思路，我们将该题用韦恩图画出，如图2所示，答案显而易见150-40-20-10-5=75。理由很简单，上侧的40盏、左侧的20盏、右侧的10盏、三圆的公共部分5盏分别被拉1、1、1、3次，因而熄灭，上圆与左圆的公共部分20盏、上圆与右圆的公共部分10盏、左圆与右圆的公共部分5盏（不含三圆的公共部分5盏）、因为被各拉两次，不受影响正常发光。翻译成小学生熟悉的数学语言比较繁琐，有兴趣的读者可以根据图2自行写出。
3 计算机仿真
上述结论是否正确有待检验，我们给出了这道题的计算机仿真程序[5]和运算结果。计算机仿真结果证实了我们的答案。
附：仿真程序（C++ Program）
#include
#include
#include
#include
#define N 150
void main（）
{
int i， num；
int Light[N]；
for（i=0；i for（i=0；i { if（（i+1）%2==0） Light[i]=（Light[i]+1）%2； if（（i+1）%3==0） Light[i]=（Light[i]+1）%2； if（（i+1）%5==0） Light[i]=（Light[i]+1）%2； } num=0； for（i=0；i { if（Light[i]==1） num++； } cout<<"亮着的灯泡盏数一共为： "< ofstream file1（"d：＼＼light.txt"，0x04，0）； file1<<"亮著的灯泡盏数一共为： "< cout<<"它们的编号依次为："； file1<<"它们的编号依次为："； file1.close（）； for（i=0；i { if（Light[i]==1） { cout< ofstream file1（"d：＼＼light.txt"，0x04，0）； file1< file1.close（）； } } } 运行结果如下： 亮着的灯泡盏数一共为：75 它们的编号依次为：1；6；7；10；11；12；13；15；17；18；19；20；23；24；29；31； 36；37；40；41；42；43；45；47；48；49；50；53；54；59；61；66；67；70；71；72；73；75；77；78；79；80；83；84；89；91；96；97；100；101；102；103；105；107；108；109；110；113；114；119；121；126；127；130；131；132；133；135；137；138；139；140；143；144；149； 4 结束语 罗弋事件带给我们太多的启示：成人在解此题时都会用到公倍数，罗弋没有学过，只能用常识去解答，结果得到了正确的答案。成人受经验的支配对此类问题形成了思维定势，没有深究。可见数学起源生活，服务于生活。在课堂教学中，教者应当理论联系实际，架起数学通往生活的桥梁[6]，这样学生一定会热爱数学、亲近数学，自觉运用数学手段解决日常生活问题。那么，在他们的眼里，数学将是一门实实在在的学科，不再是枯燥乏味的数字游戏。这样，学生学起来自然感到亲切、真实，这也有利于培养学生用数学眼光来审视周围事物的兴趣。知识不能永远禁锢在分数、课本里，只有当知识走出了课本、走出了试卷，它才会展现出真正的价值。 【参考文献】 [1]程进文.解决集合问题的利器——韦恩图与数轴[J].新高考：高一数学，2015（9）：36-37. [2]高明生.利用韦恩图巧解集合问题[J].第二课堂（高中版），2006（10）：25-26. [3]高慧明.“韦恩图”在集合运算中的妙用[J].数学通讯， 2004（9）：54-55. [4]辜纯健.韦恩图在概率计算中的应用[J].湖南生态科学学报，2004，10（4）：369-371. [5]谭浩强.C程序设计[M].四版.北京：清华大学出版社，2012. [6]王英.架起数学与生活的桥梁[J].小学科学：教师版，2013（1）：76-76. [责任编辑：田吉捷]
