李俊峰

(清华大学航天航空学院，北京100084)

教授讲题

非弹性碰撞之困惑

李俊峰1)

(清华大学航天航空学院，北京100084)

题目

一根长为2a的均匀杆与竖直线成θ角，自高处无初速落下,与光滑水平地面作完全非弹性碰撞，杆下端与地面接触后又立刻离开地面，问：杆下落高度H应满足什么条件？假设杆始终在竖直平面内运动. (改编自：李俊峰、张雄编著《理论力学(第2版)》习题7.31)

解题思路

这个问题的难点在于，按照学生以前学习中形成的习惯看法，“完全非弹性碰撞”和“杆下端与地面接触后又立刻离开地面”这两个说法是相互矛盾的，让学生困惑，我们先给出相应的数学表达.设杆下端为A，杆质心为C，建立直角坐标系(如图1所示)，Ax轴沿着地面.“完全非弹性碰撞”的数学表达：碰撞后瞬时A点速度的竖直分量uAy=0.“杆下端与地面接触后又立刻离开地面”的数学表达：碰撞后瞬时地面的压力N=0并且A点加速度的竖直分量aAy＞0

图1

下面分两个子问题来研究.

首先，研究刚体碰撞问题，我们可以利用动量定理和动量矩定理的积分形式，由碰撞前瞬时杆的角速度和质心速度，求得碰撞后瞬时杆的角速度和质心速度.

在杆下落过程中作刚体平动，在碰撞前瞬√时，杆的角速度为零，杆上所有点的速度都等于2gH.

设碰撞后瞬时杆的角速度为ω，质心速度的水平和竖直分量分别为uCx和uCy，由于地面光滑，不能给杆水平冲量，故碰撞后瞬时质心速度的水平分量仍然是零，与碰撞前一样.设碰撞过程中地……