靖杨萍

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

半广群C*-代数的一个同构问题

靖杨萍

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

半广群是范畴的推广，半广群C*-代数不仅包括Cuntz-Krieger代数，而且还包括图C*-代数、高阶图C*-代数等.对于给定的半广群，利用半广群C*-代数的生成元，构造一个新的半广群，并证明2个半广群C*-代数同构.

半广群；半广群C*-代数；同构

0 引 言

Exel R.介绍了半广群C*-代数[1]，其中半广群是范畴的推广.由于半广群C*-代数既包括Cuntz-Krieger代数[2]，也包括图C*-代数、高阶图C*-代数[3-6]、超图C*-代数[7]等，因此半广群C*-代数的研究引起了广大学者的广泛关注.

C*-代数的同构问题是C*-代数相关研究的一个重要内容，本文利用同构理论研究了半广群C*-代数，具有重要的意义.

1 预备知识

定义1.1[1]半广群是一个三元组(Λ,Λ(2),·)，其中Λ是一个集合，Λ(2)是Λ×Λ的子集，·：Λ(2)→Λ是满足以下结合律的运算：如果f,g,h∈Λ使得下列条件之一成立，

(ⅰ)(f,g)∈Λ(2)并且(g,h)∈Λ(2)；

(ⅱ)(f,g)∈Λ(2)并且(fg,h)∈Λ(2)；

(ⅲ)(g,h)∈Λ(2)并且(f,gh)∈Λ(2)；

则(f,g),(g,h),(fg,h),(f,gh)∈Λ(2)并且(fg)h=f(gh).此外，对所有的f∈Λ，设Λf={g∈Λ:(f,g)∈Λ(2)}.

定义1.2[1](1)设f,g∈Λ，若下列条件之一成立：

(ⅰ)f=g；

(ⅱ)存在h∈Λ使得fh=g；

(3)设X是Λ的任意子集，称子集H⊆X是X的一个覆盖，如果对任意f∈X，存在h∈H，使得h∩f.

定义1.3[1]设Λ是一个半广群，B是一个有单位元的C*-代数.映射s:Λ→B被称为Λ在B中的表示，如果对任意的f,g∈Λ，以下4个结果成立：

(ⅰ)sf是一个部分等距；

(ⅲ)如果f⊥g，PfPg=0；

(ⅳ)如果(f,g)∈Λ(2)，QfPg=Pg.

2 主要结果

因为(sf,sg)∈Λ′(2)当且仅当(f,g)∈Λ，所以Λ′满足半广群的定义.下面仅证明定义1.1的(ⅰ)，(ⅱ)、(ⅲ)情况类似可证.事实上，如果满足定义1.1的(ⅰ)∶(sf,sg)∈Λ′(2),(sg,sh)∈Λ′(2),由Λ′(2)的定义，可得(f,g)∈Λ(2)，(g,h)∈Λ(2).因为Λ是一个半广群，由定义1.1的(ⅰ)，有(f,g),(g,h),(fg,h),(f,gh)∈Λ(2)并且(fg)h=f(gh).再由Λ′(2)的定义可知，(sf,sg),(sg,sh),(sfg,sh),(sf,sgh)∈Λ′(2).因(sfsg)sh=sf(sgsh)，由定义1.3(ⅱ)可得sfgsh=sfsgh，于是满足定义1.1的结论.

此外，对每一个sf∈Λ′，有

证……