张悦，王伟

（宁夏大学数学统计学院，宁夏 银川 750021）

一类无限维李代数的二上同调群

张悦，王伟

（宁夏大学数学统计学院，宁夏 银川 750021）

通过计算，得到了一类无限维李代数的二上同调群和Leibniz二上同调群，这类李代数包含无中心的Virasoro子代数.

Virasoro代数；二上循环；二上同调群

1 引言

Virasoro代数［1］是一类重要的无限维李代数，它可以看成复数域上的Laurent多项式代数的导子李代数，其结构和表示理论在理论物理中有着重要的运用.当前，研究与Virasoro代数相关的无限维李代数的结构和表示是李理论研究的热点问题.此外，利用Virasoro代数本身和它的表示可以构造一些新的更大的李代数，这样很自然地出现了许多建立在Virasoro代数基础之上的代数结构［2-3］.

本文主要研究了一类无限维李代数L，它具有复数域ℂ上的一组基{Lm,Gi,m|i∈12ℤ,m∈ℤ}，满足的方括号运算为

可以看出，李代数L包含无中心的Virasoro子代数.令，这里那么W是无中心的Virasoro代数，G是W的伴随模，它们都是李代数L的ℤ-分次李子代数.

二上同调群在研究李代数的中心扩张时起着重要作用，可以用来构造仿射李代数等许多重要的无限维李代数，同时二上同调群与李代数的结构息息相关，因而对二上同调群的研究倍受数学工作者的关注［2-6］.

2 H2(L,ℂ)的计算

首先回顾一些基本概念.李代数L的一个中心扩张是一个二元组，其中是一个李代数，是一个满同态，满足Kerπ包含于的中心.当是一个完备李代数时，二元组称为L的一个覆盖.如果对L的每一个中心扩张，都存在唯一的李代数同态的一个泛中心扩张.

称这样的二上循环为L的二上边缘或平凡的二上循环.记L上的有二上边缘所构成的向量空间为如果φ-ψ是一个平凡的二上循环，则称二上循环φ和ψ等价.记[ψ]为所有与二上循环ψ等价的等价类，由所有这样的等价类构成的商空间

称为L的二上同调群.

下面我们来确定L上的所有2-上循环.设ϕ为L上的一个2-上循环，通过ϕ定义一个ℂ-线性函数f:L→ℂ，

设φ=ϕ-ϕf，其中ϕf是由（1）定义.既然所有的Ln生成无中心的Virasoro代数，因此存在某个cL∈ℂ，使得到

另一方面，利用（2）和（3），可以推出

引理2.1对任意的存在，使得

证明对三元组使用Jacobi恒等式得

在（5）中取j=m=0，可得

因此，由（4）和（6）可以推出

在（5）中，令n=1，m=-1，可以得到

进一步，在（8）中取i=0，可得到

因此，由（10）得

在（12）中取l=-1，并令k=-i+1，可以推出

在（12）中，取l=-1，用-i+2代替k，用i-1代替i，可得

在（12）中，令l=-2，用-i+2代替k，有

引理2.2存在，使得

证明对三元组(Gi,n,Gj,m,Gk,l)使用Jacobi等式，可以推出

在（18）中，取k=l=0，得到

另一方面，在（5）中，取k=0，并用-n代替m，可以推出

在（18）中，取l,k=-1，用1-n代替m，以及1-i代替j，可以得到

在（18）中，取l,k=-2，用2-n代替m，以及2-i代替j，可得

在（18）中，取m,j=-1，用i-1代替i，n-1代替n，以及2-n代替l，可以推出

此时，利用（24）～（26），可以推得

引理2.3可以得到c1=0，这里c1由引理2.1定义.

证明引理2.2给出了进一步，在（10）中，取k=1，j=-1，可得

通过上面的这些引理，我们可以得到如下定理.

定理2.4对任意的定义

注2.1通过上面的推理过程可以看出，李代数L的二上同调群就是它的Leibniz二上同调群［7］，它们是一致的.

根据定理2.4以及注2.1可知L即是L的泛中心扩张，也是L的Leibniz泛中心扩张.

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The Second Cohomology Group of a Class of Infinite Dimensional Lie Algebras

ZHANG Yue,WANG Wei
(School of Mathematics and Statistics,Ningxia University,Ningxia 750021,China)

A class of infinite dimensional Lie algebras is discussed,which contains the centerless Virasoro subalgebra.In this paper,the second cohomology group and the second Leibniz cohomology group of this kind of Lie algebras are obtained.

Virasoro algebra;2-cocycle;second cohomology group

O152.5

A

1008-2794（2017）02-0074-04

2016-07-14

国家自然科学基金项目“几类（李、左对称）共形（双）代数的结构和表示”（11661063）

张悦，硕士研究生，研究方向：李代数，E-mail：14795097693@163.com.