尚 丽

(苏州市职业大学 电子信息工程学院，江苏 苏州 215104)

MATLAB仿真在一阶RC电路响应教学中的应用

尚 丽

(苏州市职业大学 电子信息工程学院，江苏 苏州 215104)

一阶RC电路响应包括零输入响应、零状态响应以及全响应等内容。分析一阶RC电路的理论前提是必须熟练掌握电路的过渡过程、换路定律及初始值的确定等，但是这些理论内容较为抽象，在教学中不易为高职院校的学生理解和掌握。为了使学生易懂易学，对一阶RC电路的动态响应引入MATLAB仿真技术，选择不同的电阻和电容参数对响应波形进行分析，从而使学生对一阶RC电路响应的动态过程有直观上的认知，有助于更好地理解理论内容，在实际教学中取得较好的效果。

一阶RC电路；动态时域分析；零输入响应；零状态响应；全响应；MATLAB仿真

电路中含有电容(capacitance，C)、电感和开关时，由于开关的动作或者某些参数的改变时，电路不会立即达到稳定状态，而是有一个过渡过程，这种过程非常短暂，也称为动态过程，此时电容和电感就称为动态元件[1-3]。而当电路中只含有一个动态元件时，称电路为一阶电路。典型的一阶RC电路就是电路中仅含有一个电容和一个电阻(resistance，R)。在稳态直流电路中，电容被视为开路，而一阶RC电路中，电容则表现出动态的电压和电流特性，电路的分析需要根据有无外部激励(输入电源)、电容的初始储能情况和开关的动作情况进行讨论，涉及换路定律、动态元件初始值的确定、整个电路的零状态响应、零输入响应、全响应、微积分特性、三要素方法等[3-5]，理论内容较为抽象、复杂，对高职院校的大一新生来说，接触到高中学习阶段没有任何知识储备的新内容，很难理解一阶RC电路的工作过程。为了使学生更好地理解和掌握一阶RC电路，在教学中引入MATLAB仿真技术[6-9]，在扼要的理论分析的基础上，考虑不同的R、C的参数设定，对电路的响应过程给出了直观的仿真波形和分析说明，使学生在感官上和视觉上对一阶RC电路的动态过程和微积分特性能更好地理解，从而能够更好地掌握该电路的理论工作过程。该方法已在实际课堂教学过程中取得了较好的效果。

1 换路定律和初始值的确定

对含有动态元件的电路，当电路中突然发生变化时，如电路的接通、关断、电路元件参数的改变、电路连接方式的变化等，就会产生换路。但是在换路的瞬间，根据能量守恒定律，动态元件中的储能不能突然产生变化，因此电容元件两端的电压和电感元件中流过的电流不能突变，这个结论称为换路定律[10-11]，研究的重点则是换路之后电路的动态过程。设电容的端电压为uc，电感中流过的电流为iL；把换路的瞬间作为计时起点t=0，换路前的最后瞬间记为t0-=0，换路后的最后瞬间记为t0+=0，则对电容元件而言，其换路定律表示为Uc(0+)=Uc(0-)；对电感元件而言，其换路定律表示为iL(0+)=iL(0-)。

电路的初始值就是换路后t0+=0时刻的电压和电流值。动态元件的初始值可以按照换路定律来确定，称为独立初始值；其他可以跃变的初始值根据独立初始值、基尔霍夫电压和电流定律、欧姆定律来确定，称为相关初始值或非独立初始值。在实际教学中，为便于学生理解，具体求解初始值的步骤归纳如下：

1) 换路前，即t0-=0时，电路被视为稳态电路，电容视为开路，电感视为一根导线，然后求出动态元件的Uc(0+)、Uc(0-)；

2) 换路后，即t0+=0时，根据换路定律得到动态元件Uc(0+)=Uc(0-)、iL(0+)=iL(0-)；

3) 动态元件的等效。电容元件用理想的电压源Us替代，Us=Uc(0+)；电感元件用理想的电流源is替代，is=iL(0+)；

4) 画出t0+=0时刻的等效电路。如果Uc(0+)=0，则理想电压源被短路(相当于电容被短路)；如果iL(0+)=0，则理想电流源被断路(相当于电感被开路)；

5) 利用基尔霍夫定律、电压源等效、电流源等效等方法求解t0+=0时对应的等效电路，求出电路中各元件的初始值。

在动态电路中，仅对电容的端电压和电感中的电流使用换路定律，使得Uc(0+)=Uc(0-)，iL(0+)=iL(0-)。而电容中的电流和电感的端电压并不能使用换路定律，即ic(0+)≠ic(0-)、UL(0+)≠UL(0-)。一阶RC电路中，仅考虑电容的换路。

2 一阶RC电路零状态的响应及仿真

2.1 理论分析

本文应用一阶RC串联电路来分析电路的零状态响应，电路如图1所示。如果换路前电容元件没有储能，即Uc(0-)=0，此时由电压激励所产生的电路的响应称为零状态响应。分析一阶RC电路的零状态响应实际上是分析电容的充电过程。在图1中，设开关S闭合之前电容无储能，即Uc(0-)=0；则开关S闭合后，即换路后的t0+时刻，Uc(0+)=Uc(0-)=0；则根据初始值的确定步骤4)，t0+对应的等效电路中，电容被短路，如图1b所示；而当在换路后再达到稳定状态时，即时，电容上的终值为，而根据三要素求解方法，同时考虑电路中电阻和电容的关联参考方向，电容两端电压在充电过程中的计算公式为

图1 一阶RC串联零状态响应电路及其换路后等效电路

把电容的初始值和终值代入式(1)，则得到电容的端电压及其电流为

式中：Uc(t)的第一项Us为稳态值，称为稳态分量；第二项随着时间按照指数规律衰减到0，存在过渡过程，称为暂态分量。因此，Uc(t)是由稳态分量和暂态分量叠加而成。

2.2 仿真分析

根据一阶RC电路零状态响应的理论分析计算公式(2)，采用MATLAB语言对主要讨论的物理量进行编程，具主要代码为：初始化参数R=2，C=0.5，Us=50；横坐标时间轴的取值范围(µs)t=0：0.1：10；电容充电时间常数(µs)τ=R*C；电容电压值Uc=Us-Us*exp[(-1)*t/τ]；电阻和电容的电流值ic=(Us./R)*exp[(-1) *t/τ]；电阻的端电压值Ur=ic*R；电容的功率Pc=ic*Uc；电阻的功率Pr=ic*Ur。这里初始化参数设置电压源Us为50 V，电阻R为2 Ω，电容C为1 µF。由于R、C串联，则R和C中的电流相同，二者对电压源进行分压。因此代码中的ic参数即是电阻中的电流大小。代码中加入绘图命令plot及其线条颜色、粗细的设置、xlabel和ylabel命令对横坐标和纵坐标单位的设置，然后运行代码得到的仿真波形如图2所示。观察图2中波形，显然，在开关闭合的瞬间，电容进行充电，存储能量，而电流ic随着时间的增加进行衰减；电阻两端的电压和功率波形变化情况和电流ic一致，也是一个衰减变化的过程。而每一种波形在t/RC＞3以后都趋于稳态，此时可以认为充电过程基本结束；而在稳态时，电容端电压为电源电压值，ic为0，电阻端电压为0，显然，仿真波形变化情况和理论分析一致。

在上述代码中，仅仅改变电容的参数(即改变τ=RC的值)，令C=100 µF，则t=200 µs，则t＜τ，运行程序得到的仿真结果如图3所示。显然，不能观察到电容和电阻上的物理量都趋于稳态时的变化情况。因此，在仿真时要注意仿真时间t和充电时间τ的比例关系。在实际工程经验中，一般保证选取t≥5τ。

图2 一阶RC电路零状态响应的相关物理量的波形（τ=RC=1 μs，t≥τ， 快速充电）

图3 一阶RC电路零状态响应的相关物理量的波形（τ=RC=200 μs，t＜τ，充电时间长）

3 一阶RC电路的零输入响应及仿真

3.1 理论分析

在一阶RC动态电路中，如果动态元件在换路前已储能，则即使在换路后电路中没有激励源存在，电路中仍会有电流和电压存在。通常把这种没有独立源作用，仅仅由储能元件初始储能所引起的响应称为零输入响应。典型的一阶RC电路零输入响应的电路原理如图4a所示。而分析一阶RC电路的零输入响应实际上分析电容的放电过程。在开关闭合前，电容已储能，令Uc(0-)=Uc；当开关闭合后，根据换路定律，Uc(0+)=Uc(0-)=Uc；根据初始值确定的步骤，在t0+时刻的等效电路图如图4b所示(电容被一个理想电压源替代，大小即为Uc，此时电流ic(0+)=Uc/R；换路后达到新的稳态时，电容开路，即当。根据三要素公式(1)和电容的动态电压电流关系，则此时电容的端电压和电流计算为

图4 一阶RC串联零输入响应电路及其换路后等效电路

在电阻不变时，由于放电时间常数τ=RC，电容值越大，则初始储能就越大，放电时间τ就越长；当电容不变，电阻增大时，放电电流ic(t)减少，放电的时间也加长。因此，时间常数τ越大，电容放电越慢，过渡过程或者动态过程就越长。

3.2 仿真分析

根据一阶RC电路零输入响应的理论分析计算公式(3)，对主要讨论的物理量进行MATLAB编程，其主要代码为：初始化参数R=2，C=0.5，Uc=50；横坐标时间轴的取值范围(µs)t=0：0.1：10；电容充电时间常数(µs)τ=R*C；电容电压值Uc1=Uc*exp[(-1)*t./τ]；电阻和电容电流值ic1=(-1)*(Uc1./R)*exp[-1)*t./τ]；电阻的端电压值Ur1=ic1*R；电容的功率Pc1=ic1*Uc1；电阻的功率Pr1=i2c1*r1。

同一阶RC电路零状态响应仿真一样，在程序中加入画图和设置纵横坐标指令，运行程序得到的仿真波形如图5所示。观察电容放电波形，其按照指数规律进行衰减。由于选择的电容值较小，满足t≥RC，因此电容放电速度很快，在t＞3RC=3以后电容的端电压衰减到0，基本认为放电过程结束。在电容放电的过程中，电容的电流值快速衰减到0。因为电阻和电容串联，所以二者的电流波形变化一致，只是纵坐标不同。

保证电阻和其他参数不变，仅改变电容值进行仿真分析。令电容C=100 µF，即τ=200 µs时，得到的仿真结果如图6所示。观察电容和电阻的电压和电流波形，可以看到在给定的仿真时间范围内，不能观察到完整的放电过程，即此时电路的过渡过程长，和理论分析一致。参照图5中的参数选择，保证电容和其他参数不变，仅仅增加电阻的值进行仿真分析时，时间常数τ也增加，放电过程也延长，得到的仿真波形形状和分析结果和图6是一致的，这里不再赘述。所得到的仿真波形变化趋势和理论分析结果是一致的。

图5 一阶RC电路零输入响应的相关物理量的波形（τ=RC=1 μs，t≥τ，快速放电）

图6 一阶RC电路零输入响应的相关物理量的波形（τ=RC=200 μs，t＜τ，放电时间长）

4 一阶RC电路的全响应及仿真

4.1 理论分析

由动态储能元件的初始储能和独立电源(激励)共同作用引起的电路响应称为全响应，即全响应为零输入响应和零状态响应的叠加，典型的一阶RC全响应电路如图7所示。在开关S闭合前，电容已储能，设令Uc(0-)=U0；当开关闭合后，根据换路定律，则有Uc(0+)=Uc(0-)=U0；那么在t0+时刻的等效电路图如图7b所示(电容被一个大小为U0理想电压源替代)，此时电路中的电流为。当t →t∞最终达到新的稳态时，电容开路，，则根据三要素公式和电容的动态欧姆定律，电容的端电压和电流计算为

图7 一阶RC串联全响应电路及其换路后等效电路

根据式(4)中电压的表示式，可知Uc(t)=由电容的初始储能U0和外部激励Us组成。其第一项Uc'由Us决定，而且Uc'长期存在，是一个强制分量，当换路后电路达到新的稳态时，该项即是稳态分量；第二项Uc"只存在过渡过程中，当电路达到新的稳态时该项就为0，因此该项称为暂态分量。

4.2 仿真分析

根据一阶RC电路全响应的理论分析计算公式(4)，采用MATLAB对主要的物理量进行编程，其主要代码如下：初始化参数R=2，C=0.5，Us=100，U0=50；横坐标时间轴的取值范围(µs)τ=0：0.1：10；电容充电时间常数(µs)τ=R*C；电容电压值Uc2=Us+(U0-Us)*exp[(-1)* t/τ]；电阻和电容电流值ic2=[(Us-U0)./R] *exp[(-1)*t/τ]；电阻的端电压值Ur2=ic2*R；电容的功率Pc2=ic2*Uc2；电阻的功率Pr2=ic2*Ur2。

运行上述代码(τ=RC=1 µs)得到的仿真波形如图8所示。观察电容电压的仿真波形，在换路前电容初始电压为50 V(即有初始储能)，换路后达到新稳态时，电容两端的电压大小为外部激励值100 V。而在过渡过程中，电容按照指数规律衰减，最终稳定时，电容开路，电容中的电流为0。由于电阻和电容串联，电阻两端的电压波形变化情况和电容电流的波形相同。

图8 一阶RC电路全响应的相关物理量的波形（τ=RC=1 μs，t≥τ ）

另外，根据“全响应=零状态响应+零输入响应”的关系，对一阶RC电路全响应的电容电压仿真波形进行分解。因为，所以参考一阶RC电路全响应的编程代码，辅以画图命令给出(零状态响应)的仿真波形，如图9所示。对照零输入响应和零状态响应的仿真图形(参见图2a和图5a)，显然，图9中的零状态响应和零输入响应波形形状是一致的。

图9 一阶RC电路的全响应波形的分解

当τ=RC=200 µs时，仿真时间变化范围仍为0～10 µs，则可认为t＜τ，此时对应的仿真波形如图10所示，显然，这种情况下，不能看到完全的一阶RC全响应的动态过程。

图10 一阶RC电路全响应的相关物理量的波形（τ=RC=200 μs，t＜τ ）

5 结语

本文主要讨论一阶RC串联电路在动态过程中的零状态响应、零输入响应和全响应的理论分析过程，在掌握换路定律和各元器件初始值的确定方法的基础上，采用三要素法给出零状态响应、零输入响应和全响应的理论计算依据。为了使学生更直观地理解这三种响应情况下各元件的物理量变化过程，特别是电容两端的电压和电流的变化趋势，引入MATLAB仿真软件，在不同的R和C的参数配置下，辅以MATAB中的画图命令，给出相应的零状态响应、零输入响应和全响应的波形。在每一种响应情况下，对比理论分析结论和仿真波形变化的趋势，可知仿真运行结果和理论分析结论是一致的，从而使学生对复杂的理论知识有视觉上的感知，更容易理解电容在抽象的动态过程中的整个充放电过程。在实际教学中，结合三种响应波形来讲述教材中相应的理论内容，学生很容易理解。该教学方法同样适用于学习一阶或者二阶RC并联电路、电阻和电感串并联电路，近两年应用于实际教学中，已取得较好的教学效果。

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(责任编辑：沈凤英)

The Application of MATLAB Simulation in Teaching Dynamic Response Analysis of RC Circuit with One Order

SHANG Li

(School of Electronic Information Engineering，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

The RC circuit with one order contains zero input response， zero state response，complete response and so on. The theoretical premise of this circuit analysis is that students must have a good command of this circuit’s process of transition， the law of switching and the definition of initial value and so on. However， these theoretical contents are very abstract and are difficult to understand and master for students in vocational colleges. To help students understand better and learn it more easily， the MATLAB simulation technique is introduced into the dynamic response analysis of the RC circuit with one order in the teaching process. In the simulation process，different parameters of resistance and capacitance are selected to anglicize the response waves. Thus，students can obtain directly visual perception of the dynamic response process of RC circuit so as to help students comprehend better theoretical contents. In practical teaching，this method has obtained better teaching efficiency.

one order RC circuit；dynamic time analysis；zero input response；zero state response；complete response；MATLAB simulation

TP391.1

A

1008-5475(2017)01-0071-08

10.16219/j.cnki.szxbzk.2017.01.016

2016-09-14；

2016-10-12

国家自然科学基金资助项目(61373098)

尚 丽(1972-)，女，安徽砀山人，教授，博士，主要从事人工神经网络、模式识别、数字图像处理研究。

尚丽.MATLAB仿真在一阶RC电路响应教学中的应用[J].苏州市职业大学学报，2017，28(1)：71-78.