牛献礼（特级教师）

【教学内容】

人教版四年级上册第42页。

【教学思考】

人教版教材四年级上册《角的度量》单元中有一道习题“用一副三角板能拼出多少度的角？”笔者认为此题目内涵丰富，在教学时不能局限于解决这样一个具体问题，而应深入挖掘三角板中有关数学思考的内容，将之拓展、开发成一节数学实践活动课，提高学生的学习能力和思维水平，增强学生对数学的积极情感，从而更好地发挥数学内容的教育价值。那么，围绕三角板的数学实践活动又该以怎样的逻辑线索展开呢？

弗赖登塔尔认为，作为教育任务的数学不应该是现成的数学，而应该是学生做出来的数学。“学生应当通过再创造来学习数学，这样获得的知识与能力才能更好地理解，而且能保持较长久的记忆。”他这里强调的是“再创造”，也就是说学生的创造不是创造成人不知道的东西，而是“创造”人类已经创造出来的东西。可能他创造的东西，成人都知道，教师都知道，但是对学生来说，它是新的。所以，“再创造”的核心是数学过程再现，这是学生的数学化和数学家的数学化的不同之处。在数学化过程当中，教师的教和学生的学应该在数学的活动中实现统一，实现“有指导的再创造”。教师的责任就是创设适合于学生进行数学化活动的具体的、现实的情境，并有效地指导他们参与到数学化的各个方面中去。

基于此，本节课的教学思路逐渐清晰了起来，教学应该围绕“用一副三角板能画出多少度的角”和“用两副三角板能拼成哪些图形”这两个核心问题展开探究。围绕“用一副三角板能画出多少度的角”，指导学生从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过合情推理去探索思路，推断结果，发现结论，促使学生在“再创造”过程中不断迸发出学习热情和创新“火花”；围绕“用两副三角板能拼出哪些图形”，指导学生将动手操作与有序思考相结合，积累几何活动的实践经验，丰富直观体验，发展空间想象能力和理性思维。可见，有序思考、数学推理、几何直观一个不少，综合地发生在“画角、拼图”的探究性学习过程之中，不仅加深了学生对于相关知识的理解，同时也使学科核心素养的培育得到了有效的落实。

【教学过程】

一、看一看，发现三角板中角的特点

师：我们先来猜一个谜语：“一对亲兄弟，都有一直角；既能画直线，也能来画角”，打一学习用具。

生：三角板。

师：是的，谜底是三角板。把你的三角板拿出来看一看，一副三角板有几块？都是什么样子的？知道每块三角板中三个角的度数分别是多少吗？

生：一副三角板有两块，一块三角板三个角的度数是90°、30°、60°；另一块三角板三个角的度数是90°、45°、45°。

师：为了便于交流，我们把含有30°的这块三角板叫作含30°的三角板，把含有45°的这块叫作含45°的三角板。

【思考：课始，让学生“猜谜语”，以游戏的方式为本节课的学习定向；通过观察三角板，唤醒学生已有的知识经验，为接下来的探究学习做好准备。】

二、画一画，探究三角板中角的奥秘

出示探究任务：用一副三角板画角，你能画出哪些度数的角？

1.在练习本上画角，并标出角的度数。

2.如果是两块三角板拼起来画出的角，标出是哪两个角拼成的。

3.把你画出的所有角按照从小到大的顺序排列起来。

生：画出的角从小到大是30°、45°、60°、75°、90°、105° 、120° 、135° 、150° 、180°。

师：这些角中有哪些角是依照三角板上的角直接画出来的？

生：30°、45°、60°、90°。

师：有哪些度数的角是用两个三角板拼起来画成的？分别是由哪两个角拼成的？

生：75°是由 30°和45°拼成的；105°是由 45°和60°拼成的；120°是由30°和90°拼成的；135°是由45°和90°拼成的；150°是由60°和90°拼成的；180°是由90°和90°拼成的。（板书）

师：除了刚才大家说的这些角之外，还能画出其它度数的角吗？

生：不能了吧。

师：两个角相加可以拼成新的角，如果两个角相减呢？想一想，自己试着画一画。

（学生独立思考、尝试画角）

生：我画出了15°的角！

教师让学生在黑板上示范画15°的角：先画出45°的角，再在里面画出一个30°的角，剩下的就是15°的角。

生：还可以用60°和45°的角画出15°的角。

师：你怎么想的？

生：60°-45°=15°。

师：非常好！现在我们仔细观察这些从小到大排列起来的角，你有什么发现？

生：我发现它们都是15的倍数。

生：我发现它们之间都是相差15°。

生：不对，有两个角相差的不是15°，150°和180°相差的是30°。

师：还真是这样啊！

生：我有个想法！很可能有一个165°的角我们还没有画出来，如果画出来了，每两个角之间都会相差15°。

师：这倒是一个很有价值的猜想！不过，凡是猜想都需要验证。怎么验证呢？其实只要能画出来，就验证了猜想是正确的。可是，165°的角怎么用一副三角板画出来呢？

（学生独立思考，小组内讨论165°的画法）

生：先画出15°的角，再以一条边为基础，画出150°的角，15°和150°加起来就是165°。

师：可以是可以，但是有没有更简便的画法呢？

生：先画出15°的角，再把15°角的一条边延长，就得到了165°的角。

（如下图）

师：谁看懂他的意思了？说说这个角为什么是165°？

生：这两个角合起来是一个平角，即180°,180°-15°=165°。

师：这种画法确实简便多啦！我们回顾一下刚才寻找角的过程，哪个角最不容易想到？

生：165°的角。

师：那我们是怎么找到165°的角的？

生：我们是先根据规律猜想到会有165°的角，再画一画，去验证。

师：没错！我们是先找到了这些角的排列规律，发现相邻的两个角都是相差15°，只有150°和180°相差了30°；接着，我们就猜想可能它们之间还有一个角没有找到，这个角就是165°；然后，我们就想办法画出165°的角，根据15°角画出了165°的角。你觉得在找到165°角的这个过程中，什么最重要？

生：猜想最重要。

师：确实，猜想最重要，但猜想并不是“瞎猜”，而是从已有的事实出发，根据规律进行合情推理（板书：推理）。科学家们在科学研究中经常用到这种研究方法，比如天文学家就是运用这样的方法发现了太阳系中的海王星。

（教师介绍科学史上“海王星的发现过程”：海王星最开始并不是用望远镜发现的，而是在笔尖上被发现的。自从发现太阳系的第七颗行星（天王星）之后，科学家们便开始研究天王星运行的轨道，在研究过程中发现天王星和计算出来的轨道不完全一样。天文学家推测有可能在天王星之外还有一颗未知的行星在干扰天王星的运动规律。但是，这颗尚未被发现的行星究竟在哪里呢？英国人亚当斯运用数学的方法，用了2年多时间推算出了这颗行星的位置。几乎在同一时间，一位法国天文学家也同样用数学方法推算出这颗行星的位置。1846年，天文学家把望远镜指向用数学方法推算出的行星位置，在那里真的有一颗新的行星存在。这个“在笔尖上”发现的行星就是太阳系的第八颗行星——“海王星”）

【思考：上述以解决问题“用一副三角板能画出多少度的角”为载体的探究学习过程中，学生积极参与其中，经历猜想、验证等探索活动，在收获经验与感悟的同时，创新火花不断迸发。学生将画出的角度从小到大有序排列，其实就是在进行理性思维；学生依据已有规律猜测可能存在165°的角，实际上是在进行合情推理；“海王星发现过程的介绍”开阔了学生视野，让学生更加深切地感受到数学的魅力与价值。可见，学科核心素养的培育在上述探究性学习中得到了有效落实。】

三、拼一拼，探究三角板中边的奥秘

出示探究任务：用两副三角板能拼成哪些平面图形？

1.同桌合作，用两副三角板拼图形。

2.每拼出一种图形，就画出它的示意图，并标上图形名称。比一比，哪个小组拼出的图形多？

生：用两个含30°角的三角板拼图形，有六种拼法。

生：用两个含45°角的三角板拼图形，有三种拼法。

师：想一想，要拼出这么多图形，怎么才能做到不重复、不遗漏呢？

生：先用含30°角的两块三角板去拼图，再用含45°角的两块去拼，就不容易遗漏。

生：拼图时，要固定一个三角板，然后不断变换另一块三角板，这样不容易乱。

生：我是先重合直角边，找全了之后，再重合斜边去找。

师：同学们的方法尽管不完全相同，但共同点都是有序思考（板书：有序思考），有序思考容易做到不重复、不遗漏。

（课件演示：有序拼图的过程）

师：再想一想，同样是两块三角板，为什么含30°角的三角板和含45°角的三角板拼出的种数不同呢？

生：因为含30°角的三角形三条边都不相等，每重合一条边就有两种拼法。含45°角的三角形有两条边相等，这样就有几个拼法是重复的，所以拼出的种数少。

【思考：“儿童的智慧在他的手指尖上”，拼图活动的价值不在于结果，而在于过程，在于实践活动中所积累的活动经验和获得的直观体验。从某种意义上说，几何直观就是数学活动经验不断积累所形成的数学素养。数学基本活动经验主要包括实践的经验和思维的经验两个方面，两者都依赖于学生参与数学活动，获得切实的过程性体验。上述教学中，通过“拼图形”等操作活动，积累实践经验；通过反思和提炼，进一步将实践经验上升为思维经验。】

四、转一转，想象三角板旋转后形成的立体图形

师：如果把三角板绕一条直角边所在的直线旋转一周，会形成什么图形？

（全班交流汇报不同的旋转方法，课件动态演示直角三角形旋转形成圆锥的过程）

【思考：通过猜测“旋转三角形所形成的立体图形”，启发学生思考、想象，帮助学生形成表象，为后续“认识圆锥”的学习做了有意义地渗透，促进学生空间想象能力的发展。】