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关于莫利秩3的无限群结构的探讨

2017-03-29杨年西淮北师范大学信息学院安徽淮北235000

长春师范大学学报 2017年6期
关键词:莫利前提条件子群

杨年西(淮北师范大学信息学院,安徽淮北 235000)

关于莫利秩3的无限群结构的探讨

杨年西
(淮北师范大学信息学院,安徽淮北 235000)

为了研究莫利秩3的连通群的结构,将其分成两类,分别是好群和坏群。本文在已知有限莫利秩的无限群具有降链条件下,利用降链条件,证明了坏群G是莫利秩3的连通群且Z(G)=1,则∀x≠1,x∈G,CG(x)是连通的莫利秩1的群。∀x,y≠1,x,y∈G,群CG(x)和群CG(y)在群G中相互共轭或相等。

可解群;有限莫利秩群;连通群;无限群

莫利秩是1965年由莫利(Morley)定义的,此后,数学家Gregory Cherlin和Boris Zil’ber研究有限莫利秩的代数结构并提出无限单群代数猜想(Cherlin-Zil’ber猜想),是指有限莫利秩的无限单群是在代数闭域上的线性代数群[1-2];有限莫利秩的群的研究思想和方法部分来源于有限群,因为无限阶的元素往往是丰富的,通常不能通过元素阶无限来分析群的结构;Cherlin把莫利秩3的连通群分成两类,分别是好群和坏群,把莫利秩3的连通群含有确定的莫利秩2的群称为好群,否则称为坏群;Cherlin给出一个猜想,即莫利秩3的连通群的坏群是不存在的.本文探讨莫利秩3的连通群的坏群性质和结构.

1 预备知识

有限莫利秩的群G是指TH(G)是ω-稳定的RM(G)<ω(TH(G)表示群G所确定完全的理论,RM(G)表示群G的莫利秩);有限莫利秩的无限子群具有降链条件,也就是说,没有无限确定子群满足降链G>G1>G2>…[1].类似地,代数几何中的代数群,连通部分(用G0表示)是指群G中最小确定有限指数的子群[1];莫利给出几个事实,指出有限莫利秩的无限群有无限确定交换子群[1-2];有限莫利秩的无限群RM(G)=1,则群G0是无限交换群;Nesin A证明了有限莫利秩的连通的可解导群是连通的幂零群[3].本文中,C(X)表示群G的中心化子,RM(X)表示集合X的莫利秩.本文采用的符号和术语都是标准的,主要参见文献[1-2].

定义1[2]一个不可解的连通的有限莫利秩群G,如果群G的连通的真子群都是幂零的,则称群G是一个坏群.

引理1[4]如果群G是连通有限莫利秩的无限幂零群,那么Z(G)是无限的.

引理2 一个有限莫利秩的群G,如果B⊂G,B是交换群,Z(G)为G中心,则B·Z(G)是交换群.

证明 设∀x,y∈B·Z(G),不妨设x=a·b,a,c∈B,b,d∈Z(G),x·y=ab·cd=a·c·d·b=c·a·d·b=cd·ab=y·x,且xy∈B·Z(G),根据群的定义,B·Z(G)是交换群.

引理3[5]假设无限群G是莫利秩2的连通群,则群G是可解的.

引理4 设N◁G,N和G/N均可解,则G可解.

证明 已知G/N可解,依据文献[6]的定理4.12,存在一个整数n,(G/N)(n)=1=G(n)N/N,推出G(n)⊂N,由于N可解,存在整数m,(N)(m)=1=G(n+m)=1,即G可解.

2 主要结论

定理1 假设非可解群G是连通的莫利秩3的群,如果群G存在确定莫利秩2子群T,则子群T一定是非幂零子群.

证明 假设群T是幂零群,则群T的子群也是幂零的,设A=T0,群A是确定的连通的莫利秩2的幂零群.存在群A的正规化子N=N(A),因为前提条件非可解群G是连通的莫利秩3的群,而子群N≠G,所以子群N是莫利秩2的群.

设x∈G-N,那么A∩AX≠A,分两种情况讨论:(1)假设A∩AX为有限群,则MR(A∩AX)=0,结果MR(AAX)=4;而AAX⊂G,则MR(AAX)≤MR(G)=3,产生矛盾.(2)假设A∩AX为无限群,且A∩AX≠A,可得MR(A∩AX)=1.计算AAX的莫利秩,MR(AAX)=3.设B=(A∩AX)0,群B是连通的莫利秩1的群,则群B是交换群.因为群A是确定连通的莫利秩2幂零群,根据引理1,中心Z(A)是无限群.

下面证明群B⊂Z(A),假设A=Z(A),则B⊆Z(A).假设A≠Z(A),因群A是确定的连通的莫利秩2的幂零群,推导出RM(Z(A))=1.对B∩Z(A)的莫利秩再分两种情况讨论:(1)假设RM(B∩Z(A))=1,因B是连通的莫利秩1的群,则B⊆Z(A);(2)假设RM(B∩Z(A))=0,推导出RM(B·Z(A))=2,因为群A是确定连通的莫利秩2幂零群,即B·Z(A)=A,根据引理2,则有B·Z(A)是交换群,即A=Z(A),则B⊆Z(A).

因为子群AX也是确定连通的莫利秩2幂零群零群,同理也可以证明群B⊂Z(AX).因为A⊂C(B),Ax⊂C(B),则AAX⊂C(B).而MR(AAX)=3,因为群G是连通的莫利秩3的群,则C(B)=G,推导出群B是非可解群G的正规子群.因群B是交换群,则群B是可解群,计算莫利秩得MR(G/B)=2,根据引理3,商群G/B是可解的,再由引理4可知,群G是可解的.则得出群G与前提条件不可解的矛盾.即假设群T是幂零群不成立,则子群T一定是非幂零子群.

根据定理1的证明可知,一个莫利秩3的不可解群G,如果有确定的莫利秩2的真子群,莫利秩2的真子群一定是非幂零的,可以推导出莫利秩3的坏群G一定没有确定的莫利秩2的真子群.

定理2 连通的莫利秩3的群G是坏群,且Z(G)=1,则∀x∈G,x≠1,RM(C(x))=1.

证明 连通的莫利秩3的群G是坏群,那么群G没有确定莫利秩2的子群.已知C(X)是确定子群,所以RM(C(x))≠2.如果RM(C(x))=3,则C(x)=G,推导出∀x∈Z(G),x≠1,与前提条件Z(G)=1矛盾,即RM(C(x))≠3.如果RM(C(x))=0,那么C(x)是有限的,{xG}是确定的子集,且RM({xG})=3.计算连通的莫利秩3的群G的莫利度等于C(X)群的阶,|C(X)|≥2,与连通的莫利秩3的群G的莫利度是1矛盾,由上面的讨论可知,RM(C(x))=1.

引理5 假设连通的莫利秩3的群G是坏群,且Z(G)=1,如果∀x∈G,x≠1,∀x,y∈G,x,y≠1,C0(x)∩C0(y)≠1,则C0(x)=C0(y).

证明 设a∈C0(x)∩C0(y),a≠1,根据定理2,可以推导出C0(x)和C0(y)都是莫利秩1的交换群,C0(x),C0(y)⊂C0(a).假设C0(x)∩C0(y)是有限的,那么RM(C0(a))≥2.现在分析C0(a)的莫利秩,连通的莫利秩3的群G是坏群,根据定理1,不存在确定莫利秩2的群,那么RM(C0(a))≠2.如果RM(C0(a))=3,因为群G是莫利秩3的连通群,则C0(a)=G,可以推导出a∈Z(G),a≠1,与前提条件矛盾,可知C0(x)∩C0(y)是有限的这一结论不成立,由此得到C0(x)∩C0(y)是无限的,所以C0(x)∩C0(y)为莫利秩1的交换群,其连通分支具有唯一性,则C0(x)∩C0(y)=C0(y)=C0(x).

定理3 假设连通的莫利秩3的群G是坏群,且Z(G)=1,那么∀x∈G,x≠1,C(x)是连通的.

证明 设∀a∈G,x≠1,记T=C(a),A=C0(a),设b∈A∩Ag且b≠1,A和Ag都是连通的莫利秩1的群,可得A⊂C(b),Ag⊂C(b).因为莫利秩3的单群G是坏群,可以推导出只有RM(C(b))=1;A和Ag都是连通的莫利秩1的群.由RM(C(b))=1,C(b)的莫利秩1的连通群具有唯一性,即可得A=Ag.

记D=∪{Ag,g∈G},下面证明D=G.首先假设D≠G,因为RM(N(A))=1,[N(A)∶A]是有限的,通过计算,RM(D)=3,且D是正规子集.不妨假设存在y∈(G-D)且y≠1.由定理1,得到RM(C(y))=1.设B=C0(y),D1=∪{Bg,g∈G},显然D1也是一个莫利秩3的正规子集,群G是莫利秩3的连通的群,那么必然存在s∈D∩D1,s≠1,即s∈Ag,s∈Bh,由于Ag和Bh是莫利秩1的连通群,得到Ag=Bh.推导出A和B是共轭的,即得到D=D1.如果T≠A,RM(A)=1,由A是T的正规子群,则RM(T-A)=1.又记集合D2=∪{(T-A)g,g∈G},假设(T-A)k∩(T-A)是无限的,显然Tk∩T是无限群,因T连通分支是唯一的,得到A∈Tk∩T,推导出Ak=A,可知(T-A)k∩(T-A)是有限的,计算出D2莫利秩和D的莫利秩相等,得到RM(D2)=3.

由RM(D)=3和RM(D2)=3,得到群G是莫利秩3的连通的群,D2∩D必然有无限多个元素,那么存在y∈(T-A)满足yh∈D2∩D.设yh∈Ak,记d=kh-1,经过转化和替换,得到y∈Ad,Ad是连通的莫利秩1的交换群,记g=d-1,经过转化和替换,则yg∈A.商群|T/A|的阶是有限的,所以存在正整数n,假设yn∈A,yn≠1,有y∈Ad,显然yn∈Ad,推导出yn∈A∩Ad.由引理5,得到y∈A=Ad,与y∈(T-A)产生矛盾.假设yn=1,因为y∈NG(A),A是交换群,由文献[2]13页11题的结论可知,CA(y)是无限的,因为A是连通的莫利秩1的群,则A=CA(y)⊂CG(y),可以推导出y∈A=Ad与y∈(T-A)矛盾.因此D≠G假设不成立,得到D=G相等,即C(x)是连通的.

推论1 坏群G是莫利秩3的连通群,且Z(G)=1,则∀x,y∈G,x,y≠1,群CG(x)和群CG(y)在群G中相互共轭或相等,而且G=∪{(CG(x))g,g∈G}.

证明 根据定理3,∀x,y∈G,x,y≠1,群CG(x)和群CG(y)在群G中是莫利秩1的连通群,由于G=∪{(CG(x))g,g∈G},由引理5可知,群CG(x)和群CG(y)在群中相互共轭或相等.

[1]Marker D.模型论引论[M].北京:科学出版社,2007.

[2]Borovik A,Nesin A.Groups of Finite Morley Rank[M].New York:The Clarendon Press Oxford University Press,1994.

[3]Burdges J.Simple Groups of Finite Morley Rank of Odd and Degenerate Type[D].New Jersey New Brunswick:Rutgers University,2004.

[4]杨年西.关于有限莫利秩的无限幂零群的性质探讨[J].佳木斯大学学报,2016(6):987-988.

[5]杨年西.关于莫利秩2的连通群的性质探讨[J].淮北师范大学学报,2016(4):12-14.

[6]徐明曜.有限群论(上)[M].北京:科学出版社,2001.

Study on the Structures of the Connected Groups of Morley Rank 3

YANG Nian-xi

(Information College, Huaibei Normal University, Huaibei Anhui 235000,China)

We considered two classes of connected groups of Morley rank 3 is conducive to the study of its structure,respectively they are a good group or bad group. We know that any infinite group of finite Morley rank satisfies the descending chain condition, according to the descending chain condition,we show thatGbe a centerless, bad group of connected groups of Morley rank 3, Then ∀x≠1,x∈G,CG(x) be a connected groups of Morley rank 1,and ∀x,y≠1,x,y∈G,CG(x)andCG(y) are conjugate to each other or equal.

solvable group; group of finite Morley rank; connected group; infinite group

2017-03-22

安徽高校自然科学研究重点资助项目“模型论在群论中的应用研究”(KJ2016A646)。

杨年西(1972- ),男,讲师,硕士,从事模型论研究。

O142

A

2095-7602(2017)06-0012-03

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