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探讨一元二次方程中的五要点

2017-03-24马宏伟

理科考试研究·初中 2017年1期
关键词:一元二次方程教学设计

摘要:一元二次方程是初中数学课程的重要内容,也是中考的热点之一,本文梳理总结了一元二次方程五方面的知识点,并佐以实例,对学生系统地学习一元二次方程及相关知识有很大的帮助作用,也可供教师教学参考.

关键词:一元二次方程;概念理解;教学设计

作者简介:马宏伟(1978-),男,甘肃岷县人,专科,中学一级教师,主要从事初中数学教法研究.一、一个概念

我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程.概念的关键是“一元”、“二次”、“整式”方程及二次项系数不能为零,它的一般形式为ax2+bx+c=0(a与b和c为已知数,且a≠0).

二、二条性质

1、如果a+b+c=0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一根为1,反过来也成立;

2、若a-b+c=0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一根为-1,反过来也成立.

三、三种不完全形式

1、ax2+bx=0(c=0);2、ax2+c=0(b=0);3、ax2=0(b和c同时为0).

四、四种基本解法

1、直接开平方法;2、配方法;3、因式分解法;4、求根公式法.

五、五条注意事项

1.判断一个方程是否为一元二次方程,必须先将其化简整理成为一般形式,再根据概念作出肯定或否定的判断.

例1下列方程中是一元二次方程的是()

A.ax2+bx+c=0

B.2x2+xy+x+1=0

C.6x2-2x+1=(2x-1)(3x+2)

D.(x+1)22=2x3

答:应选(D)

解析备选答案A中无a≠0的限制条件;B中含有两个未知数;C容易误认为是一元二次方程,但展开整理后二次项将消去,故正确答案为(D).

2.切勿忽视二次项系数不为零的隐含条件

例2方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则()

A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2

答:应选(B)

解析由题意,得|m|=2

m+2≠0 联立解得m=2.本题易错选为A,这是只考虑了|m|=2而忽略了隐含条件m+2≠0所造成的.

例3一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()

A. k>2B.k<2且k≠1

C. k<2D.k>2且k≠1

答:应选(B)

解析一般情况下仅考虑Δ=(-2)2+4(1-k)>0k<2容易忽视1-k≠0,从而造成漏解,应综合求解即得k<2且k≠1

3.若说一个方程有实数根,不能马上就想到一元二次方程,进而去考虑根的判别式,还应同时“兼顾”一元一次方程;或只想到Δ=0,亦应充分考虑到“两个实数根”有可能相等,也可能不等.

例4k为何值时,关于x的方程(k-1)x2-(2k+1)+k+1=0有实数根?

解析此方程没有说明一定是一元二次方程,所以要分一次方程和二次方程兩种情况来考查.

(1)当k-1=0即k=1时,原方程化为-3x+2=0,∴x=23

(2) k-1≠0即k≠1时,由Δ≥0知(2k+1)2-4(k-1)(k+1)≥0,即k≥-54,∴k≥-54且k≠1

综合(1)(2)可知,当k≥-54时,方程有实数根.

例5关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根,那么m的取值范围是()

A.m>0B.m≥0

C.m>0且m≠1 D.m≥0且m≠1

答:应选(D)

解析由△≥0且m-1≠0得出结论

4.运用方程的根的定义解题时,应周密思考,否则极易造成漏解

例6已知实数α、β满足条件α2-7α+2=0,β2-7β+2=0,求βα+αβ的值.

解析∵α2-7α+2=0,β2-7β+2=0,

∴α、β是一元二次方程x2-7x+2=0的两实根

由根与系数的关系,得α+β=7,αβ=2

(1)当α=β时,βα+αβ=2(这一点容易疏忽)

(2)α=β时,βα+αβ=α2+β2αβ=(α+β)2-2αβαβ=7 2-2×22=452

5.解含有字母系数的一元二次方程,需分类讨论

例7解关于x的方程(a-1)x2-2ax+a=0

解析(1)当a-1=0,即a=1时,得-2x+1=0∴x=-12

(2)当a-1≠0,即a≠1时,Δ=4a-4(a-1)=4a

① 若a<0,则△<0,方程无实数根;

② 若a=0,则△=0,x1=x2=0;

③ 若a>0,则△>0,得x1=a+aa-1,x2=a-aa-1

综上得:当a=1时,x=-12;当a<0时,方程无实根;当a=0时,x1=x2=0;当a>0时且a≠1时 ,x1=a+aa-1,x2=a-aa-1.

参考文献:

[1]吴健.阅读理解专题讲解[J].数理化学习,2015(2):5-6

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