潘娟娟，凌雪岷

（安徽新华学院 通识教育部，安徽 合肥 230088）

高等数学中不等式证明的几类常用方法

潘娟娟，凌雪岷

（安徽新华学院 通识教育部，安徽 合肥 230088）

不等式在高等数学中的应用非常广泛，但是其本身逻辑性较强，证明方法多样，学习难度较大.本文立足高等数学，通过实例补充介绍了6种比较常用的证明不等式的方法，对每种方法给出了具体的证明思路，并辅以典型例题，旨在使学生对不等式的证明有更深的理解和掌握.

高等数学；不等式；证明

不等式的证明是高等数学中重要的考察内容，正确的使用不等式可以将一些复杂的数学问题简单化，但是不等式证明方法多样且繁杂，学生在使用时往往无法选择最合适且最简便的方法，因此对不等式证明方法进行总结和归纳很有必要，既可以提高教师的教学水平，还可以增强学生学习的效果.基于不等式的重要性，本文总结了证明不等式的几种常用的方法，并配以具体的例子，便于学生更好的掌握不等式证明的技巧，在以后的学习中可以熟练的选择合适的简洁的证明方法.

1 利用函数的性质证明不等式

1.1 函数的凹凸性

定义1[1]设f(x)在区间I上连续，如果对任意两点x1,x2恒有

那么称f(x)在I上的图像是(向上)凹的(或凹弧)；

如果恒有

那么称f(x)在I上的图像是(向上)凸的(或凸弧).

说明 函数判定函数的凹凸性，一般我们不通过定义去判定，而是通过凹凸性的判定定理来判定，设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么若在(a,b)内f"(x)＞0 (或f"(x)＜0)，则f(x)在[a,b]上图形是凹(或凸)的[1].

1.2 函数的单调性

利用函数的单调性比较函数的大小，是高等数学不等式证明中常用到的方法之一.

说明 利用函数单调性证明不等式的一般步骤:

(1)构造辅助函数f(x)；

(2)根据f'(x)的符号判定函数的单调性；

(3)根据函数f(x)的单调性，得出所求不等式.

2 利用Lagrange中值定理和Cauchy中值定理证明不等式

2.1 Lagrange中值定理[1]

如果函数f(x)满足:

(1)在闭区间[a,b]上连续；

(2)在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点ξ (a＜ξ＜b),使等式

成立.

例3 设b＜a＜0，证明nan-1(b-a)＜bn-an＜nbn-1(b-a).

证 设f(x)=xn,显然f(x)在区间[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，应有f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a＜ξ＜b)，由于f'(ξ)=nξn-1，因此上式可化简为bn-an=nξn-1(b-a)，又由于a＜ξ＜b，有nan-1(b-a)＜nξn-1(b-a)＜nbn-1(b-a)，

即nan-1(b-a)＜bn-an＜nbn-1(b-a).

说明 利用Lagrange中值定理证明不等式的步骤如下:

(1)通过观察不等式经过恒等变形可以化成函数值之差的形式，则可考虑运用拉格朗日中值定理，并合理设定f(x)；

(2)根据a＜ξ＜b对拉格朗日中值定理进行适当的放缩，推导出所证不等式.

2.2 Cauchy中值定理[1]

如果函数f(x)及F(x)满足:

(1)在闭区间[a,b]上连续；

(2)在开区间(a,b)内可导；

(3)对任一x∈(a,b),F'(x)≠0,

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)使不等式

成立.

例4 设e＜a＜b＜e2.证明

3 利用Taylor公式证明不等式

高等数学中，泰勒公式除了用于逼近一些较复杂的的函数、近似值计算以及求函数极限以外，还可以用于证明一些几何不等式.

例5 b＞a＞e证明:ab＞ba.

说明 运用泰勒展开具体步骤如下:

(1)合理给出辅助函数f(x)，给出函数在某点的泰勒展开式，展开式的阶数根据具体题设来确定；

(2)根据所证不等式，对朗格朗日余项进行适当的放缩，从而证明出所给不等式.

4 利用函数的最值证明不等式

利用闭区间上连续函数的有界性与最大值最小值定理，求出函数f(x)在区间的最大值M和最小值m，则该函数在区间段内任意值都满足f(x)≤M或者f(x)≥m.

5 利用定积分的性质证明不等式

5.1 定积分的估值定理[2]

设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则

说明 找出被积函数的在积分区间上的最大值和最小值，可以估计积分值的大致范围，从而证明了不等式.

5.2 积分中值定理[1]

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，至少存在一个点ξ，使下式成立:

积分中值定理是解决含有积分不等式问题的重要方式之一.

例8 设f(x)在[0,1]连续单调减，

6 利用定积分中的一些著名不等式证明不等式

柯西-施瓦茨不等式

例9 设f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)＞0.证明:

说明 利用琴生不等式证明不等式时，要选用合适的辅助函数，然后通过求一阶二阶导数得到函数的凹凸性，根据琴生不等式求证.

8 结语

本文仅仅总结归纳了高等数学中七种常用的证明不等式的方法，但是教学过程中并不仅仅局限于上述若干种方法，而且同一个问题也可以选择不同的证明方法去解决，这就需要教师和数学爱好者在平时的教学工作中不断去发觉和探索，从而可以综合运用各种方法和技巧灵活解决不等式证明的相关问题.

〔1〕同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2015.

〔2〕裴礼文.数学分析中的典型问题和方法[M].北京：高等教育出版社，2001.

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