广东省江门市实验中学(529000) 陈铭波

方程思想在勾股定理中的运用

广东省江门市实验中学(529000) 陈铭波

一、利用勾股定理解决折叠问题

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,体现了数学形结合的思想.在折叠问题中勾股定理有着非常广泛的应用.在这类问题中常通过折叠的条件得出相等的线段,再通过勾股定理直接求出未知线段或通过勾股定理列出方程求出未知线段.

例1.如图,把长方形纸片ABCD折叠,B、C两点恰好重合,落在AD边上的点P处,已知∠MPN=90°,长方体的长AD=12cm,MN=5cm,求长方形的宽.

图1

分析: 由题意可知PM=BM,PN=CN,则PM+PN=BM+CN=BC-MN=12-5=7cm,设PM=xcm,则PN=(7-x)cm,又∠MPN=90°,在Rt△PMN中利用勾股定理可以求出PM、PN的长,然后通过面积法求出MN边上的高即长方形的宽.

解: 设PM=x cm,则PN=12-5-x= (7-x)cm.在Rt△PMN中,由PM2+PN2=MN2得x2+(7-x)2=52,化简得到x2-7x2+12=0,即(x-3)(x-4)=0,即x=3或x=4.过点P作PE⊥MN于点E,由得

在解题的过程中,部分学生一开始就想通过构造三角形直接求出三角形的宽而没有想到通过面积法来求Rt△PMN的高PE来求出长方形的宽,从而导致了思维局限在一个方向上.也有一部分学生在列出方程算出PM有两个值时就产生的疑惑,其实我们的目的是求出Rt△PMN的面积,通过面积法就可求出高PE出现两个值对面积大小没有影响.

例2. 已知矩形ABCD,其中AB=8cm,BC=10cm,折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,求: (1)CF的长;(2)EC的长.

图2

分析: 由题意可知AF=

解: (1)依题意得: △ABF～=△AEF AF=AD= 10,DE=EF在Rt△ABF中,由勾股定理得BF=10-6=4cm(2)设EC=x,则EF=8-x在△ECF中,由勾股定理得CF2+EC2=EF242+x2=(8-x)2解得: x=3∴EC=3cm在求出CF的长之后,也有一部分的学生设EF=ED=x,则EC=(8-x)cm,也可以求出EC的长.

二、利用勾股定理解决实际问题

例3.现在要组建一个课外调查小组,假设你就是其中的一员,现在要测量学校旗杆的高度,测量发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,你能算出来旗杆的高度吗?

图3

分析:

1.根据实际情况,构造了直角三角形;

2.找出直角三角形中已知的边和要求的边;

(2) 两种方法都能够确定转子所在的60°电角度位置区域,通过定位力矩与转子位置的关系能够准确找到转子的位置;

3.分析直角三角形三边分别存在在什么关系(运用方程思想);

4.根据三边关系列出方程.

解: 设旗杆的高度为x米,则绳子的长度为(x+1)米.如图,AC=x,AB=x+1在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2x2+52=(x+1)2

解得: x=12∴AC=12答: 旗杆的高度为12米.

在实际教学中,学生遇到的问题就是无法根据数学问题建立数学模型;建立数学模型之后也有部分学生设绳子的长度为x米,则旗杆的高度为(x-1)米,同样可求出旗杆的高度.

例4. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是: 有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向池边的顶端恰好到达池边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?

图4

解: 设这个水池的深度为x米,则这根芦苇的长度是(x+1)米.如图,BC=x,AB=x+1,AC=10÷2=5在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,x2+52= (x+1)2解得: x=12∴BC=12,AB=12+1=13.

答: 这个水池的深度是12米,这根芦苇的长度是13米.

在解题的过程中,有部分学生不能准确读懂题意,“水面是一个边长为10尺的正方形”学生理解为水池的横截面是正方形,导致解题出错.

三、以勾股定理为桥梁,求三角形面积或周长

例5. 如图,△ABC,AB=15 cm,AC=20 cm, BC=25 cm．求△ABC的面积．

图5

分析: 求△ABC的面积先要作出高AD,设BD=x,则CD=(25-x),在Rt△ABD和Rt△ACD中,根据勾股定理分别把AD表示出来,由相等关系列出方程,即可求出高AD,再求△ABC面积.

解: 过点A作AD⊥BC设BD=x,则CD=(25-x),在Rt△ABD中,由勾股定理得CD2=AB2-BD2= 152-x2=25-x2在Rt△ACD中,由勾股定理得CD2=AC2-CD2=202-(25-x)2=50x-x2-225∴225-x2=50x-x2-225解得: x=9 S△ABC=

例6. 在Rt△ABC中,∠C=90°,周长为60,斜边与一条直角边之比为则这个三角形三边长分别___._

解: 设这条斜边与直角边分别为13x,5x则另一条直角边=周长=13x+5x+12x=60∴x=2三边长分别是10,24,26.

由以上三种类型题目可知,直角三角形中应用方程思想,主要用于以下两个方面:

(1)一个直角三角形中,已知一条边的长,还知道另两条边的关系,(如: 之和,之差,之比等)求另两条边或周长面积.

(2)一个直角三角形,一条边长也没有告诉,但知道三边的关系(和,差,比等),求边长、周长、面积或者比值.

解答方法很类似,只要设其中一条边为x,就可以得出其余边长的代数式,然后用勾股定理,或者周长面积公式列出方程.

[1]王春才.张维新.三点一测.[Z].科学出版社,2009-9-1.

[2]谢鼓平.初中教案优化设计.[Z].新疆青少年出版社,2012-6.

[3]杨斌.初中课堂评估1+1.[Z].广州出版社,2012-12.