余超群

(湖北大学数学与统计学学院,湖北 武汉 430062)

(α,β)混合序列加权和的完全收敛性

余超群

(湖北大学数学与统计学学院,湖北 武汉 430062)

借助(α,β)混合序列加权和的极大值矩不等式,采用截尾的方法讨论(α,β)混合序列加权和的完全收敛性,并获得(α,β)混合序列加权和的Marcinkiewicz-Zygmund型强大数定律.

(α,β)混合序列;Marcinkiewicz-Zygmund型强大数定律;完全收敛性;加权和

0 引言

(α,β)混合序列的定义由Bradley[1]给出,并研究了绝对正则条件下(α,β)混合序列的中心极限定理.邵启满[2]进一步研究 (α,β)混合序列的极限性质.陆传荣等[3]于1997年建立了(α,β)混合序列协方差的界,在此基础上, 沈燕[4]给出了(α,β)混合序列的矩不等式,得到(α,β)混合序列的收敛定理.赵琦[5]利用Kolmogorov不等式得到(α,β)混合序列 的三级数定理,在较弱的条件下,进一步研究了(α,β)混合序列的部分和与乘积和的强大数定律和加权和的完全收敛性.在本文中,我们借助(α,β)混合序列加权和的极大值矩不等式,采用截尾的方法讨论(α,β)混合序列加权和的完全收敛性,并获得(α,β)混合序列加权和的Marcinkiewicz-Zygmund型强大数定律.

设{Xn,n≥1}是随机变量序列,X为一非负随机变量,C>0为常数, 若对任意的x>0,n≥1, 都有P(|Xn|>x)≤CP(X>x),则称{Xn,n≥1}是被X一致控制的.本文约定:C,C1,C2总表示正常数, 且在不同的地方可以表示不同的值.

1 引理

引理1[6]设{Xn,n≥1}是被随机变量X一致控制的序列,则对∀α,b>0有

E|Xn|αI(|Xn|≤b)≤C1[E|X|αI(|X|≤b)+bαP(|X|>b)]

(1)

E|Xn|αI(|Xn|>b)≤C2E|X|αI(|X|>b)

(2)

其中C1,C2都是正常数.

其中C为仅依赖于α,β和λ(·)的常数.

2 主要结果及证明

(3)

若存在一常数q>max{α,2(pα-1)/(2α-1)},使得E|X|q<∞,则对∀ε>0,有

(4)

(5)

(6)

因为q>2(pα-1)/(2α-1),由Markov不等式和(6)式可得

(7)

(8)

并由(3)式和Hölder不等式,对于1≤k

(9)

(10)

因此,结合(5)式,(7)式和(10)式有(4)式成立.定理证毕.

(11)

(12)

首先,我们将证明

(13)

当1/……