☉江苏省常熟市浒浦高级中学 王琪

例谈构造函数在导数解题中的应用

☉江苏省常熟市浒浦高级中学 王琪

在近十年的高考中，导数综合解答题常常作为压轴之作.这类题由于其解答的方法灵活，没有固定的解题套路，对学生的综合能力要求较高，难度往往很大，得分率极低.所以在考试过程中导致不少学生对其“战略放弃”.因此，如何突破这一难点是教师面临的一大难题.笔者认为，在教学中，解题若能多总结和反思，把解题的过程提升到一定的理论高度，则能提高学生的解题效率和能力.笔者在通过对导数解答题的归纳分析，发现构造函数是解答一类导数综合题的一大利器.所谓构造函数，就是在解题过程中，只构造一个函数难以解决问题，甚或无法解法问题.此时，若能对问题进行等价转化，然后再构造函数，然后各个击破，最终使问题得以解决的一种方法.笔者将个人的想法整理成文，供大家参考.

一、构造函数的类型

1.构造F′（x）=［f（x）+g（x）］′型的导函数解题

例1设定义在R上的函数f（x）存在导函数f′（x），对任意的x∈R有f（x）+f（-x）=x2.当x＞0时，有f′（x）＞x，则满足f（2-m）-f（m）≥2-2m的实数m的取值范围为______.

首先根据已知条件f′（x）＞x的结构特点，构造新函数g（x）=（fx）-；再由已知条件求得函数g（x）的单调性；最后将f（2-m）-f（m）≥2-2m用g（x）表示，利用函数g（x）的单调性求出m的取值范围.

解：因为f′（x）＞x，所以f′（x）-x＞0.由其结构可构造函数g（x）=（fx）-，则有当x＞0时，g′（x）=［（fx）-］′= f（′x）-x＞0，所以函数g（x）=（fx）-在（0，+∞）上为增函数.因为（fx）+（f-x）=x2，即（fx），则有g（x）+g（-x）=0，所以函数g（x）=（fx）-为奇函数，故函数g（x）=（fx）-在R上是增函数.又因为（f2-m）-（fm）≥2-2m，所以（f2-m）g（m），所以2-m≥m，即m≤1.

若已知条件是形如“f′（x）±g（x）”的代……