函数对称性的探究

☉湖北省丹江口市均州中学 黄立斌

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础.函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.本文就函数与对称有关的性质作一些探讨.

一、函数自身的对称性探究

定理1函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b.

证明：先证必要性：设点P（x，y）是y=f（x）图像上任一点，因为点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点P′（2a-x，2by）也在y=f（x）图像上，所以2b-y=f（2a-x），

即y+f（2a-x）=2b，故f（x）+f（2a-x）=2b.

再证充分性：设点P（x0，y0）是y=f（x）图像上任一点，则y0=f（x0），

因为f（x）+f（2a-x）=2b，所以f（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0）.

故点P′（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）图像上，而点P与点P′关于点A（a，b）对称.

推论函数y=f（x）的图像关于原点O对称的充要条件是f（x）+f（-x）=0.

定理2函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）.（证明留给读者）

推论：函数y=f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）=f（-x）

定理3①若函数y=f（x）图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期.

②若函数y=f（x）图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期.

③若函数y=f（x）图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期.

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

因为函数y=f（x）图像既关于点A（a，c）成中心对称，

所以f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x，得

f（2b-x）+f［2a-（2b-x）］=2c.（*）

又因为函数y=f（x）图像直线x=b成轴对称，

所以f（2b-x）=f（x）代入（*），得

f（x）=2c-f［2（a-b）+x］.（**）用2（a-b）-x代x，得

f［2（a-b）+x］=2c-f［4（a-b）+x］，代入（**），得

f（x）=f［4（a-b）+x］.

故y=f（x）是周期函数，且4|a-b|是其一个周期.

二、不同函数对称性的探究

定理4函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图像关于点A（a，b）成中心对称.

定理5①函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图像关于直线x=a成轴对称.

②函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图像关于直线x+y=a成轴对称.

③函数y=f（x）与x-a=f（y+a）的图像关于直线x-y=a成轴对称.

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③.

设点P（x0，y0）是y=f（x）图像上任一点，则y0=f（x0）.记点P（x，y）关于直线x-y=a的轴对称点为P′（x1，y1），则x1= a+y0，y1=x0-a，

所以x0=a+y1，y0=x1-a代入y0=f（x0）中，得x1-a=f（a+y1）.

所以点P′（x1，y1）在函数x-a=f（y+a）的图像上.

同理可证：函数x-a=f（y+a）的图像上任一点关于直线x-y=a的轴对称点也在函数y=f（x）的图像上.故定理5中的③成立.

三、三角函数图像的对称性列表

注：上表中k∈Z.

四、函数对称性应用举例

例1定义在R上的非常数函数满足：f（10+x）为偶函数，且f（5-x）=f（5+x），则f（x）一定是（）.

A.是偶函数，也是周期函数

B.是偶函数，但不是周期函数

C.是奇函数，也是周期函数

D.是奇函数，但不是周期函数

解析：因为f（10+x）为偶函数，所以f（10+x）=f（10-x）.

所以f（x）有两条对称轴x=5与x=10，因此f（x）是以10为其一个周期的周期函数，所以x=0即y轴也是f（x）的对称轴，因此f（x）还是一个偶函数.

例2设（fx）是定义在R上的偶函数，且（f1+x）=（f1-x），当-1≤x≤0时，（fx）=-x，则（f8.6）=_________.

解析：因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以x=0是y=f（x）对称轴.

又因为f（1+x）=f（1-x），所以x=1也是y=f（x）对称轴.故y=f（x）是以2为周期的周期函数，所以f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3.

例4（2014·全国卷）奇函数f（x）的定义域为R.若f（x＋2）为偶函数，且f（1）＝1，则f（8）＋f（9）＝（）.

A.-2B.-1C.0D.1

解：方法1：因为f（x＋2）为偶函数，所以其对称轴为直线x＝0，所以函数f（x）的图像的对称轴为直线x＝2.又因为函数f（x）是奇函数，其定义域为R，所以f（0）＝0，所以f（8）＝f（-4）＝-f（4）＝-f（0）＝0，故f（8）＋f（9）＝0＋f（-5）＝-f（5）＝-f（-1）＝f（1）＝1.

方法2：因为f（x＋2）为偶函数，所以其对称轴为直线x＝0，所以函数f（x）的图像的对称轴为直线x＝2.又因为函数f（x）是奇函数，所以函数f（x）的图像的对称中心是原点.由定理3中③可知，函数f（x）的周期是4|2-0|=8，所以f（8）＝f（0）＝0，f（9）＝f（1）＝1.故f（8）＋f（9）＝1.