例谈平面几何知识在圆锥曲线中的应用

☉江苏省常熟浒浦高级中学 李艳华

解析几何是代数与几何的完美结合，圆锥曲线问题一般兼有深刻的几何背景和灵活多变的代数结构，这类问题经常困扰着学生.既然有些圆锥曲线问题有一定的几何背景，那么平面几何的常规方法在解决这类问题的过程中能不能起到一定的辅助作用呢？回答是肯定的.我们在使用代数方法研究曲线性质的同时，可以辅以平面几何的方法，真正实现数与形的结合.

本文主要想展示平面几何方法在解决圆锥曲线的各类问题中的应用，其辅助功能可以体现在以下几个方面.

一、解决距离和的最值问题

例1已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（）.

分析：此题可以用代数方法解决.

本题也可以利用抛物线的定义巧妙地利用三角形相似来做，这应该也是出题者的用意所在.

解法二：如图1，过Q点向准线l作垂线，垂足为H，设|QF|的长度为x.由抛物线的定义知，|QH|=|QF|=m，，FG=4，利用△PHQ～△PGF，得到，所以m=3.

图1

二、解决切线斜率问题

例2已知点A（-2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）.

图2

解析：如图2，过B作准线的垂线BD，D为垂足，AB为抛物线的切线.由抛物线的光学性质知，∠DBA=∠FBA，又|BF|=|BD|，

所以△BFA≌△BDA，

所以BF⊥AF，F（2，0），

点评：在解决圆锥曲线的客观题中，偶尔使用圆锥曲线的光学性质也可以收到比较好的效果.

图3

三、解决面积问题

例3如图3，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点.