21世纪的第一个10年，HPM（History and Pedagogy of Mathematics，数学史与数学教学）进入中国，到了第二个10年，HPM受到了较多关注，数学史被越来越多地运用于课堂教学实践。然而，相较于中学，HPM视角下的小学数学教学实践还不够深入。原因是什么呢？数学史融入小学数学教学需要注意哪些问题？采取什么措施，小学数学教师才能开发出好的HPM课例？这些都是HPM视角下的小学数学教学亟待解决的问题。为了找寻问题的答案，我们采访了华在中小学HPM课例开发领域具有丰富经验的东师范大学汪晓勤教授（以下简称“汪”）、邹佳晨老师（以下简称“邹”）两位老师。

访谈采用半结构性问卷，问卷的编制首先参考了汪晓勤团队的科研成果，找出了HPM在实践中的核心问题，然后结合汪晓勤团队在小学的研究成果，确定了重要但未曾深入探讨的问题，与专家团队讨论后，确定了最终的问卷，并提前一周以邮件的形式发送给了受访者。

岳增成：（以下简称“岳”）我们已在中学开发了大量HPM课例，做了大量理论、实践方面的研究。然而很多小学数学教师对HPM不是很了解，所以一些杂志期望我们团队做一些HPM在小学的推介工作。很高兴能与汪老师、邹老师探讨HPM在小学的实践问题。首先，请谈一下HPM实践的一个根本性问题，即：如何判断一个课例是否属于HPM的范畴？

汪：至少有一点，仅在课堂上讲一个故事或笑话，不算HPM，也就是只用附加式不行，因为将故事或笑话拿掉以后，不影响知识的传授。所以附加式要与复制式、顺应式、重构式结合起来使用。（关于这四种方式，请参考本刊2016年第12期《HPM与小学数学教师专业成长》一文。）——编者注

邹：正面界定比较困难。如果将这个故事或笑话拿掉后，对这节课目标的达成没有产生显著的影响，也就是说，课堂可以继续下去，学生的知识目标可以达到，也不影响能力目标的达成，那么这节课就不属于HPM的范畴。

汪：总之，还是两座桥，历史与现实、数学与人文，这两座桥都要。邹老师刚刚讲的没错，最后还是要落实到教学目标的达成与数学史融入的关系上来，只有融入课堂的数学史影响了教学目标的达成，这样的课才能叫HPM课。

岳：也就是说，运用数学史和HPM视角是不一样的。

汪：HPM是数学史融入数学教育，“融入”表明它已经成为一种教学模式了。

岳：汪老师、邹老师为我们定义HPM课例指明了方向。那么，请介绍一下HPM在小学的实践状况。

汪：我们称不上全面了解。但从我参与的一系列小学数学教师的培训来看，小学教师对HPM的热爱程度超过了中学教师。我想原因是这样的，相比于中学，小学的升学压力小一些，从而对文化、历史、情感方面的关注要多一些。因此，情感、信念在小学里地位更高一些，从这种意义上讲，小学教师更看重HPM。另一方面，从文献数量上讲，我觉得小学HPM方面的文章是远远多于中学的。其实不仅是HPM，数学写作、数学日志，也是小学比中学多。所以，在小学开展教育研究，条件会相对好一些。因此，HPM在小学的前景应该是比中学广阔的。

邹：其实，我印象最深刻的一点是小学生、小学教师对HPM的喜爱程度。不过，小学HPM的运用方式还不够多元，我们现在看到的主要是附加式、复制式，顺应式、重构式还是比较少的。此外，是不是小学阶段对数学学科本质的关注比较少？是不是要将关注小学数学课堂的丰富性、活动性、热闹程度转变到关注对数学学科本质理解的深刻性、数学教学目标的达成上来？

汪：确实，从目前开发的小学HPM课例来看，数学史给小学数学教学带来的益处是超过中学的。比如，第一次讲角时，课堂教学深深地吸引着学生，人人都抢着举手、回答，而且他们的回答也很好，这样的效果在很多中学课例中是看不到的，当然这和学生的年龄特点是有关系的。所以说小学的HPM课效果、氛围与中学是不一样的。

岳：除了HPM在小学的实践状况，刚才汪老师、邹老师还对HPM在中学、小学的实践情况做了一些比较：一是小学教师与中学教师对HPM的喜爱程度不同；二是HPM视角下的小学、中学课堂教学效果、氛围不同。除了这两点，HPM视角下的小学、中学数学教学还有什么不同之处？

汪：不同之处还有很多。首先，小学与中学融入数学史所要达成的目标是不一样的。中学里的一些概念，数学化程度已经很高了，而小学的知识，从历史上来看，它对应的是数学知识的早期发生阶段，可能是一个概念刚刚发生时的样子，抽象程度还不高。因此，我们要重构的是知识萌芽的阶段，这实际上给我们带来了一定的困难。举一个简单的例子，如对圆的认识，如何追溯圆的早期历史呢？在古埃及纸草书、古代两河流域泥版上，我们都看到了有关圆的记载，但那时记载的就已经是圆的面积、周长了，所以重构古人对圆的认识的要求更高，因为学生的知识基础是非常薄弱的。所以，中学、小学的HPM课例开发是不一样的，即使是重构，难度也不一样，这与小学生认知起点比较低，所涉及的历史是早期的，很可能在文献上没有明确记载有关。

邹：每次讨论时，我发现对中学阶段的课例开发，我们能侃侃而谈，但对小学阶段的课例开发，特别是低年级阶段，几乎是不可能的。记得我们在武汉全国数学教育年会上介绍小学HPM案例时，很多人认为其中没有数学史，因为没有一个数学家的名字，没有一段历史上的材料。这种认识是有误差的。正是因为我们了解了角的概念发展历史，了解了角的早期发展过程，我们才有了这样的设计，所以数学史才在低年级的课程中成为了一条暗线。

汪：我觉得复制式的运用会比较少，因为古代的数学问题及其表述方式与现在是不一样的，以小孩子现有的语言能力很难理解。

邹：就像可以给初中生呈现《九章算术》的原文片段，带点儿古文，增加文化性，小学一二年级的学生怎么会看得懂？对小学高年级的学生还可以讲一些古希腊的数学家，但低年级的学生可能连人名都说不清楚，怎么可能给他们讲这些？所以我想在融入数学史的时候，是不是应该考虑小学课堂、小学生的特点？是不是四种方式的融入在小学阶段应各有侧重？

岳：看来，我们应该根据小学数学教学的特点，对中学阶段经过理论借鉴与经验总结形成的HPM理论进行再诠释。刚才汪老师、邹老师也提到了小学阶段数学史料还是比较少的，这也是小学教师面临的一个普遍问题，就是“无米之炊”的问题。那么，汪老师，从您的角度看，从哪些方面出发可以帮助教师找到有用的数学史料用于设计教学？

汪：这个问题是比较重要的。让小学教师独立去找数学史料，几乎是不可能的，也是不现实的，因为与中学教师接触，也深刻地感受到了这一点。让教师自己找不现实，我们找到了直接给他们，也是有问题的。所以我们基本上采取合作的方式，我们提供史料，然后一起研讨如何裁剪、加工等。正如上面所讲的，重构数学史料要求比较高，因此对史料的裁剪、加工要求就比较高，所以小学教师开发课例还需要在一个实践共同体中开展。启东蔡特（即名师蔡宏圣）那边的老师，就是一个共同体，每位老师开发的课例，都经过了团队的研讨，没有哪个人是单独来做的，这就证明了共同体的重要性。所以怎样给小学教师提供好的史料，这个问题很重要。我认为作为高校的研究者，首先要做教育取向的数学史研究。随便拿出一个课题，让我给小学教师提供数学史料，我没有现成的，任何一个课题的史料都是需要坐冷板凳进行研究的。我们早期开发角、圆、乘法运算的课例时，都没有现成的史料，都是通过教育取向的数学史研究找出来的，就是说那些“米”不是直接从麻袋里倒出来，而是需要我们去田野里收集。所以我们不能放弃教育取向的数学史研究。连历史都不懂，能做HPM吗？而要懂历史，就要做研究。历史研究是多么艰难啊，可以说我们是永远走在路上的，教育取向的数学史研究是永无止境的。

岳：也就是说，历史取向的数学史研究与教育取向的数学史研究还是有一定距离的，教育取向的数学史研究进入课堂还需要裁剪、加工。正如刚才汪老师、邹老师所讲，小学、中学运用数学史料的方式是不一样的，对小学教师而言，附加式、复制式是他们能理解的，但是顺应式、重构式，特别是重构式，他们理解起来很难。那么，两位老师能否借几个例子来谈一下如何运用这两种方式，以便教师开发课例时借鉴？

汪：这个问题很好，很专业。重构式对小学教师而言，的确很难。为什么很难？我想主要是因为重构式是没有固定模式的，但重构是有依据的，依据就是知识点在历史上发生、发展过程中的关键步骤。小学里有用字母表示数、简易方程等，从一开始没有用字母表示数，到用字母表示未知数，再到用字母表示任意数，是学生必须经历的阶段。如何获知这三个环节呢？是历史告诉我们的，如果不知道历史上有这三个环节，谈何重构？重构什么呢？重构的另一个依据是历史发展背后的动因，这个也是不会改变的。为什么说用文字表达不够用了，会想到用字母表示未知数？为什么用字母表示未知数不够用了，而用字母表示任意数？背后的历史动因找出来了，也就有了骨架。但为什么说没有模式呢？是因为从一个环节到另一个环节的动因，需要用小孩子能够理解的问题情境去构造，这就没有模式了，因为这样的问题无穷无尽。所以重构很难。我们高校的研究者和小学教师合作去开发课例时，要把历史环节搞清楚，把背后的动因告诉他们，然后让他们去选择适合小学生的问题。总之，历史环节是确定的，背后的动因是历史的，但是问题的选择是现代的，选择是没有模式的。

邹：汪老师讲到了重构式，那我谈一下顺应式。顺应式是需要改编历史问题的，所以无论是小学教师还是中学教师，首先，要找到历史上原本的问题或史料；其次，历史上的问题应该转化成小学数学教育的语言或小学生的语言，在这个过程中，复制会不会走样？当然，有认知障碍的术语可以去掉，但不能把知识背后蕴涵的思想或前面提到的学科本质也扔掉了，转化成为一种热闹的现象。在度的把握上，需要我们和小学教师商量或我们深入研究。

岳：也就是说，重构时要考虑知识的逻辑顺序、历史顺序及学生的心理发生顺序，缺一不可，缺了就会失败，而对于顺应式，我们是不是要保证复制不走样，对么？

邹：对，不能变得与原来的完全不一样，否则那就不是顺应式了。

岳：所以现在就存在着这样一种现象，顺应着、顺应着就和我们现在的题目一样了，那凭什么说它是顺应式？我们可以从哪些方面解决这一问题？

汪：也就是说，一个问题在我们看来是从数学史上来的，而在他人眼里根本不是数学史问题，这个的确很复杂，因为从广义上讲，我们今天的很多问题的确是从古代来的，就是一代一代演变过来的，那这是不是历史呢？你可以说是顺应，而人家可能说不是顺应。我觉得造成这一问题的原因是不同的人对历史的掌握程度不一样。但是作为HPM研究者，应该有个基本的判断：不管其他，能在已有文献基础上找到出处的，就是顺应式。

岳：那是不是又回到历史取向、教育取向研究的重要性上来了？

汪：是的，这些都是基础。所以做HPM的研究，必须追溯历史本源。

岳：现在大家都知道了HPM的教育价值，但是HPM作为一个学科，肯定有其独特的教育价值，我觉得有必要对此有所揭示。那么，从汪老师、邹老师的角度来看，HPM有哪些独特的教育价值呢？

汪：作为访谈问题，这个有点儿难。但我可以谈谈数学史的独特性与不可替代性。先谈一下知识之谐。怎样让知识自然发生？即使不懂数学史，也可能做到知识之谐，但是没有数学史的知识之谐可能是肤浅的。如用字母表示数，如果去问小学教师，为什么要用字母表示数？他们可能会回答“书本上是这样的”。这又回到了刚才的问题，历史会告诉我们知识发展的动因是什么，核心的环节是什么。但是今天，很多教师是不知道历史的。其实，知识之谐是历史告诉我们的，因为很多东西，历史上已经发生了，我们是改变不了的，这是人类认识过程中自然发生的。所以在我看来，有了数学史，知识真的是自然发生了，没有数学史，教师关注的还是知识的逻辑顺序。这样的话，有些内容是能够体现知识之谐的，因为这些内容的逻辑顺序恰好与历史顺序相一致，碰巧是自然的。但是很多时候两者是不一致的，这个时候哪种顺序是自然的？也可能是我们今天的逻辑顺序是自然的，因为逻辑顺序又和学生的认知发展顺序一致了，但是很多时候历史顺序才是自然的，所以，历史在知识之谐这个方面是不可替代的。再谈一下探究。在评课的时候，我们经常提到假探究，确实有这回事。为什么会出现假探究？因为这些探究活动设计的背后是没有参照系的，而历史给我们提供了探究活动设计的参照系，这个参照系没有数学史能行吗？我们再来看德育和文化。历史本身就是文化，数学文化是包含数学史的。另外，从德育的角度讲，像反比例函数，有了数学史，如历史故事，讲到反比例函数这个“反”字，讲到生意人贪小便宜吃大亏，这就是得与失之间的辨证关系，让学生能够感受到这种德育价值。所以知识之谐、探究之乐、文化之魅、德育之效，有数学史和没有数学史是完全不一样的，当然也不能说没有数学史这些就没有了。以上是数学史在这四方面的体现，数学史的价值一定是独特的。没有数学史，应该说就没有人的元素了；没有了人的元素，那么人影响人，像这种德育的东西，肯定是少的。

岳：邹老师还有哪些补充？

邹：刚刚汪老师讲了很多，我就补充一点，就是数学史让课堂充满人性。比如，知识之谐，如果没有人的元素，知识是冰冷的、客观的，但是融入数学史，就仿佛课堂里多了一个人，有古人伴随学生经历知识的学习和发生过程。再如探究之乐，如果有了历史的支撑作为参照系，仿佛当年就有这个探究的活动（汪：再现历史的过程）。文化之魅也是这样，如果有数学史的融入，就有了人的元素的加入，就能为文化的建构或文化价值的体现服务。所以数学史让课堂充满人性，让老师和学生充满情怀，就是这种独特的价值使数学史发挥了不可替代的作用。还有方法之美和能力之助，在这两个方面数学史也发挥着锦上添花的作用。

汪：我刚刚为什么没讲方法之美和能力之助呢？因为它们在中学里反映得更明显一些，在小学里，毕竟没有大量定理的证明，因此逻辑的东西是少的。而用数学史提升小学生的能力这方面，要求也许高了点儿，但是要说独特性，也是有的。举个非常简单的例子，格子算，小孩子是喜欢的，是有方法之美的。能力呢？比如，设计探究活动让学生创造角的符号，这是不是体现了创新能力的培养？再比如，讲一段数学家的故事，是不是也有阅读理解能力的体现？所以这方面是挺重要的。比如，现在的很多高考题，背景中包含一大堆数学史，如果阅读能力不强，学生先晕过去了，还谈何解题？

岳：刚才汪老师、邹老师从HPM的六大教育价值出发阐释了数学史融入数学教学的价值独特性。前面你们也多次提到，合作在HPM课例开发中是相当重要的，那么你们能否说一下如何借助共同体的合力，来促进共同体在小学生根发芽？不同的团体在这个过程中，要分别扮演什么角色？

汪：这个问题很好！2015年《中学数学月刊》向我约稿时，我就提出“五个一”了，其中有“一个团队”。作为HPM的早期传播者，在国内，我认识很多中小学教师，但总感觉HPM推不下去，很简单的一个道理，让教师独立开发课例是不可能的。首先，没有“食材”，其次，没有技术，怎么做饭呢？所以我就感觉到这种共同体的必要性，事实上我们举办的多次HPM研讨会，就是建立、扩大共同体的过程。以中国这种现状，是很需要共同体的，这个方面，蔡特是成功的。总之，我们需要共同体，这就是我们追求的一种模式，大学和中小学合作的模式。一个团队，就是大学、中小学、教研员共同组成一个共同体，在这个共同体里面，各方力量结合起来，发挥各自的优势。

其实，我们的HPM、历史研究很好，教育研究也可以，但是如果不和小学教师合作，自己拍拍脑袋，肯定是不行的。七八年前，我也经常做一些教学设计，有人拿我的设计用于教师培训，结果教师意见一大堆：“这个设计45分钟能完成吗？”“教学目标定位是怎样的？”他们感觉到太为历史而历史。所以，我们作为高校研究者，如果不和中小学合作，对学生、教科书的知识体系都是不了解的，所以说仅仅学术性很强是不够的，这个共同体是不能离开一线教师的，离开他们，我们也做不出好的设计来。因此，高校教师和小学教师及教研员，应各自发挥自己的强项，然后一起研讨，把这些优势融合在一起，这样才能形成好的设计。

邹：其实，三个团队，高校研究者团队负责提供数学史料，小学教师（实践者）团队负责上课，那教研员这个团队呢？其实是一个平衡的角色。研究者团队讲的东西是不是能在课堂中实践出来？有些自身专业水平较高的教师，是能够判断或能够完成教学形态的转化的，而有些教师，特别是年轻、职初教师，是没有把握的。所以，我想教研员或者教师发展指导者，让我们能够将HPM的理论形态或教学设计转化为课堂教学。

岳：是不是说教研员团队能促进HPM的传播？所以说HPM共同体的组建，要吸引更多的教研员或教师发展指导者参与进来。

汪：是的，他们可以在学术形态和教育形态之间架起一座桥梁。

邹：所以在共同体里，他们应该承担重要角色。我们欢迎更多的小学教研员或教师发展指导者加入HPM共同体。

岳：上次我参加《小学教学（数学版）》导读活动时，发现大家对HPM课例的课后反馈很感兴趣。学生的反馈（家庭作业除外）教师很少涉及，所以对此也不太了解，两位老师觉得反馈有什么作用？另外，如何有效地设计课后反馈？

汪：这个问题提到点子上了，这个问题正处于不断研究、不断探索、不断完善的过程中。事实上，一节课上完后怎么检测效果？调查是需要的，但是世界上没有统一的标准，大家都在探索。情感方面稍微好测一点，认知方面还需要编制合适的工具（如测试卷）。但是不管怎样，小学教师关注反馈是非常好理解的，你说好，难道就是好？如果教师没有发现学生喜欢，他们是不认可的。为什么很多做HPM课例开发的教师，原来没有感觉，做了以后慢慢喜欢上了它？因为他们感受到了HPM的魅力，他们发现学生是真心喜欢的，对知识的理解也很深入。

岳：邹老师能不能谈一下，我们大致要从哪些方面设置一些问题，来了解学生的真实想法？因为不管是HPM课还是其他类型的课，我们都需要做这方面的工作。

邹：就是汪老师刚刚讲的，我们早期做信念、态度的反馈，比较好做。后来一直强调知识层面的调查，我们就开发了知识测试的问卷。当时有这样一个想法，使用知识卷的时候，有两个方向：一是可以做知识理解的对比研究，针对用和不用数学史的学生，用相同的题目测试，通过对比可以看出HPM对知识理解的影响；二是做纵向的实践研究，就是HPM课例结束后，对学生可能没有立竿见影的效果，但是过一段时间以后再去测试反而有效果了，这当然是受研究条件限制的。其实对小学生做问卷是比较难的，尤其是低年级学生，很多学生可能对问卷本身的理解就有困难，所以，这个时候我们要采取访谈的形式。

岳：就是说，如果经历了较长时间，学生仍然没有遗忘，就说明对学生的影响是深远的。

邹：因为这节课后，学生还要进行其他课程的学习，当我们很难排除一些无关变量时，是不是可以多次测试？所以知识方面，是小学HPM课例开发反馈中亟待攻克的难题。

汪：评价确确实实能提高HPM水平，但目前这方面还相当不完善，甚至做得很肤浅。

岳：事实上我们现在试图从三维目标上考查学生，有些题目考查他们的知识掌握程度，同时将情感、态度的前测和后测结合了起来。

汪：这个很好，情感好做，认知呢？我觉得在小学里考查HPM对学生认知的影响就是一个好的研究课题。开发好了是非常有价值的，但是开发是没有固定模式的，对于一个概念、一个公式或不同的主题，在HPM教学之后，用来检测学生情况的工具应该是不一样的。如果我们涉及的是一个公式，在讲解时用到了某一思想，就体现了HPM的方法之美，我们要检测学生的掌握情况，就需要通过这样的工具来检测，如圆面积可以通过转化为三角形面积来推导，那么扇形面积能不能用？

岳：这个对我们未来的HPM测评工具的开发提出了更高的要求，我们希望尽量做到这一点。

汪：针对每一个知识点的教学，我们通常会问：对这节课你印象最深刻的是什么？这节课你喜欢吗？你掌握了没有？这些问题不一定能考查出学生的真实情况。

岳：不要问掌握了没有，而是直接出道题进行测试。是么？

汪：是的。所以，现在我们开发出合适的测评工具是不容易的。作为测量工具，量桌子的长短，尺子至关重要，尺子做不好，怎么进行测量呢？所以我觉得做HPM实证研究，测评工具的开发是不可回避的问题，否则水平就高不上去。

岳：的确，测评工具在HPM研究中相当重要。汪老师和邹老师对HPM在小学的实践，或在小学阶段HPM的研究，有什么期望？

邹：HPM，特别是小学HPM，要以解决课堂中长期存在的问题为出发点。因为我们的HPM研究，让人眼睛放亮的地方是能解决课堂中常年积累下来的一些问题。因此，能解决这些疑难杂症，是我们努力的方向。这就需要我们深入进行教育取向的数学史研究，运用规范的测评方法，借助共同体的合作将HPM的学术形态转化为课堂形态。我期望HPM能够为小学数学教学增添一股清风，能够为解决困难带来一些帮助，我想这是很值得期待的。

汪：还是要解决几个“一”的问题，一门课程、一个论坛、一种模式、一批案例、一个团队，从而让HPM在小学生根、发芽、结果。

访谈总结

通过对汪晓勤、邹佳晨两位老师的访谈，我们发现，深入进行HPM视角下的小学数学教学实践，需要做到以下几点：

（1）厘清HPM的边界是前提。要认识到只使用了附加式的课例不能称为HPM课例，附加式要与其他方式相结合，且数学史的使用要对教学目标有显著影响。

（2）教育取向的数学史研究是保障。无论是宏观层面的HPM课例的开发，还是微观方面顺应式、重构式的使用，史料的占有率是关键。因为没有史料，何谈HPM？没有教育取向数学史的深入研究，如何确保顺应的问题是历史问题？如何保证重构的知识发生、发展过程反映了知识发展的关键节点与历史动因？

（3）理论的借鉴与创新是生命力。HPM视角下的小学教学与中学教学在前景、教师的喜爱程度、教学效果与课堂氛围上差异很大，但中学HPM研究、实践较为成熟。因此小学阶段的HPM实践与研究，要借鉴中学的相关成果，结合学生特点、教学实际、数学史等，构建数学史融入小学数学教学教育价值的独特内涵，创造性地使用数学史的融入方式。

（4）共同体的组建是必经之路。要开发出好的HPM课例，需要采取共同体的模式，高校与中小学合作，高校研究者、小学数学教师、教研员紧密配合、资源共享、优势互补。