安徽省砀山中学 辛 民 (邮编:235300)

2017年高考数学江苏卷第20题的赏析与思考

安徽省砀山中学 辛 民 (邮编:235300)

1 原题再现

2017年高考数学江苏卷第20题如下:

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a＞0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;

(2)证明:b2＞3a;

(3)若f(x)、f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于,求a的取值范围．

2 试题赏析

以函数、导数、不等式为框架,以二次、三次函数、分式函数为依托,以函数的零点、极值点为纽带设计试题,试题涉及函数、导函数、零点、极值点等基本概念、基本知识,着力考查函数导数的运算、利用导数研究函数的单调性、极值、最值、方程、不等式等基础知识和基本方法,考查函数方程、转化化归、分类讨论等数学思想方法,较好地考查了数学核心素养中的数学抽象、数学运算、逻辑推理．试题平和、质朴;选择三次函数命题,超脱了此类问题的模拟考试中一般命题模式,多项式函数与其他超越函数结合的命题,极具亲和力;分层设问,梯次递进,层次感较强,以数学知识为载体,考查学生的慎密思维、严格的推理能力,通过问题的解答揭示知识的产生背景、发展、形成过程,总结提炼数学思想方法,体现数学的创造发现发展的特点;体现了教育部考试中心公布的《2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲:总纲》中提出,在“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”4层考查目标以及“基础性、综合性、应用性、创新性”4个方面的考查要求的基础上,科学设计命题内容,增强基础性和综合性,着重考查考生独立思考和运用所学知识分析问题和解决问题的能力的命题要求．

3 解法赏析

解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1,得

当a＝3时f′(x)＞0(x≠－1),故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值．

当a＞3时,f′(x)＝0有两个相异的实根,设其为x1、x2,容易判定它们是f′(x)的极值点．故,定义域为(3,＋∞)．

注通过导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点建立等式,解法自然流畅,通过建立不等关系求函数定义域略显困难,对学生的慎密思维、严格推理能力要求较高．

同理可证g(a)＞g(3),即b2＞3a．

又a＞3,所以b＞a．

由此可得b2＞a2＞3a．

注通过等价转化不等式问题化为函数求解或利用重要不等式求解,要求学生具有较宽的数学视野,具有一定数学运算能力．

(3)由(1)知f(x)的极值点为x1、x2,且x1,则

则f(x)、f′(x)的所有极值之和F(a)就是f′(x)的极值,因为,于是F(a)在(3,＋∞)内单调递减,因为且故a≤6．

综上可得,a的取值范围是 3,6( ]．

注解题方法自然清爽,具体运算程序、过程对学生的运算品质、运算过程中求简意识要求较高．

4 错误分析

高考后组织30名优秀学生试做该题,学生得分率较低,对第一问27位同学给出了b、a之间的关系式,仅有5位同学正确给出了函数的定义域,关键是学生不能正确理解应用函数有极值这一充要条件求解;8位同学给出定义域为{a|a≥3},暴露出学生慎密思维欠缺,误把充分条件当作充要条件求解,最后导致结果不准确,对而不全．第二问仅有4位同学给出了正确答案,都是选用作差比较大小的方法,另有9位同学构造函数后求导出错,关键是学生利用导数解决问题的能力薄弱,等价转化意识淡薄,不能正确的将不等式问题转化为函数问题求解,另有12位同学机械套用重要不等式,由,则,半途而废,没有意识到等号成立条件为即与a＞3矛盾,及时调整思路,寻找新的运算方法．第三问仅有1位同学给出了正确的解答,学生能够正确理解题意,列出表达式,但是学生数学运算能力薄弱,不能合理灵活地设计运算程序,获取运算结果．事实上,此题考查的是学生应知、应会、应该具有的基础知识、基本方法、关键能力及数学学科素养,没有特殊的方法技巧,学生的解答过程不尽人意,这也暴露了我们平时教与学中存在的问题．

5 教学思考

5．1 落实必备知识,提升关键能力

《高考大纲》明确指出高考数学考查的是学生的“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”,即数学核心概念、主干知识及概念、知识中蕴含的数学思维方法、数学思想方法理性数学精神以及利用这些思想、方法解决问题的能力．然而在应试教育的大环境下,数学教学的目标被矮化为知识的掌握与解题训练,表现为:概念辨析、原理陈述、范例精讲、变式训练、归纳总结,相当多的教学时间花在学生解题、教师讲题上,师生共同陷入题海,学生更多地学到的是模仿而不是思考,造成学生思维能力低下．因此,高三数学复习时教师要帮助学生从学科整体高度上再次经历概念的形成过程,了解概念、知识的产生背景,体会数学化的过程,多角度、多层次分析、理解概念的表征,提高抽象概括能力、逻辑思维能力、数学表达能力,帮助学生构建概念系统,清除理解上的盲点难点,优化概念、知识结构,领悟其蕴涵的数学思想、方法,建立从概念到解题的自然链接,在解题中辨析、深化概念,强化概念本质的理解与应用意识的培养,使数学问题解决过程变为玩概念、品概念、用概念的活动,提高学生分析问题、解决问题的能力．例如解题教学时,精选例题,通过解题,理解、比较不同概念差别与联系,如

已知初数x、y满足 (x－2)2＋y2＝1,则的取值范围是__________．答案1,2[ ]

在解决此问题时,应引导学生思考相关概念,加深对概念的理解,可从以下几方面着手:

(1)点P,(x,y)在圆(x－2)2＋y2＝1上,将P看作向量就可以理解为向量在向量上的投影,数形结合很容易得到结果．

(4)也可提示学生采用变量代换,令x－2＝cosθ,y＝sinθ,但数学运算能力要求较高,很难得到正确的答案．

选择此题,可以激发学生学习数学兴趣,通过学习,学生对向量的投影、距离、三角函数的定义等有一个全新的认识．

又如,在概念复习时,不应再重复高一、高二的故事,要精心设计复习内容,创新复习方法,让学生在概念复习中有新的收获,如在复习三角函数中的正、余弦定理时,除按教材、课标要求外,可增加如下设问:

叙述余弦定理的逆命题,并证明其真假．(真)

交换余弦定理中的条件与结论即可解决此题,但无从下手,关键是理不出余弦定理的条件、结论是什么,余弦定理的文字叙述为:三角形的任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦积的2倍,这样叙述不易分清条件与结论,可考虑转化语言叙述定理:

在△ABC中a,b,c是角A,B,C的对边,那么

a2＝b2＋c2－2bccosA,b2＝a2＋c2－2accosB,c2＝a2＋b2－2abcosC．

这样上述定理中共有6个量,三边a、b、c与三角A、B、C．

逆命题为:若a、b、c为正实数,α、β、γ∈ (0,π且,a2＝b2＋c2－2bccosα,b2＝a2＋c2－2accosβ,c2＝a2＋b2－2abcosγ,则a、b、c对应的线段构成一个三角形,其对角分别为α、β、γ．证明(略)

叙述正弦定理的逆命题,并证明其真假 ．(假)

通过以上分析学生对余弦定理的理解与感悟比学习新课上升一个档次,达到了复习的目的．

5．2 加强基础知识复习 提升数学运算能力

数学运算是数学的基本能力,它是解题的基本功,也是学生发展学生数学核心素养、取得高分的根本保证,其重要性是不言而喻的,上题所考查的运算技能,主要包括方程、不等式的求解,字母及无理数的运算等,从学生答题情况看却令人担忧,相当一部分学生运算能力不过关,如第1问求导法则记忆不准确,函数有极值条件理解不透导致计算不准等,第2问不等式与函数问题不能正确相互转化、导数计算出错,第3问不能正确利用极值点简化计算,费九牛二虎之力却算出错误的结果．数学每一步运算都以定义、定理、公式、法则为依据,因此,正确理解概念、准确掌握公式、定理、法则是准确、迅速、灵活运算的根本保证,提高学生的运算能力应是数学复习中一项长抓不懈的工作．

6 命题思考

数学高考试题就应该这样以教材、考纲为基础,以基本概念、定理、法则及基本数学思想方法的考查为主线,反应数学课改的要求,体现追求数学理解、数学探究、数学思考的价值取向,突出数学思维、数学思想、数学问题解决能力、数学素养的考查,没有必要通过拓展、深挖传统的初等数学内容设计极其精巧的解题技巧,学生解决问题像科学家搞研究一样创新解决问题的方法,提高试题的区分度,达到选拔的目的．本题第二问若改为证明:b＞a,好像更好,更简洁,解答问题的方法、考查的知识、能力基本不变．

2017-07-09)