王 薇, 袁 琪, 李 民, 胡 铨

(华东理工大学数学系,上海 200237)

基于降维的填充函数方法

王 薇, 袁 琪, 李 民, 胡 铨

(华东理工大学数学系,上海 200237)

提出了一个基于降维技术的填充函数方法,用以求解箱约束非线性全局优化问题。首先利用降维变换将n维问题转化为一维问题,其次对一维问题运用填充函数方法求解,证明了降维填充函数的理论性质,并给出了算法和数值实验结果。

全局最优化; 填充函数; 降维变换;α-致密

填充函数方法是求解非线性多极值优化问题的有效方法之一,由西安交通大学葛仁傅教授在1987年提出[1-2]。在以后的发展过程中,很多学者对此方法又作了许多改进[3-6],提出了单参数填充函数、无参数填充函数法等。降维方法由CHERRUAULT,ZIADI等学者提出并应用在求解全局优化问题上[7-12]。该方法通过构造降维变换,利用变换将原n维问题转化为一维全局最优化问题。本文将降维技术与填充函数方法结合,构造了新的算法求解最优化问题,最终利用数值实验验证了该方法的可行性。

1 降维变换和填充函数

1.1 降维变换

考虑箱式约束的全局最优化问题P:

假设1 f(x)在E上偏导数存在且连续。

假设2 f(x)在E上有有限个极小值。

引理1 f(x)在E上偏导数存在且连续,则f(x)在E上Lipschitz连续。

对问题P的稳定点做出一点说明:若x*是问题P的稳定点,则x*满足:

构造降维变换:xi=hi(θ),i=1,2,…,n,将n维问题转化为只与θ有关的一维问题f*(θ)。其中,hi(θ),i=1,2,…,n构成空间S={(x1,x2,…,xn)|xi=hi(θ),i=1,2,…,n}。

此时,空间S要满足以下定义:

定义1 S是Rn空间的子空间,如果对任意一点Q∈Rn,存在Q′∈S,使得d(Q,Q′)≤α,那么称S是α致密的。……