叶雉鸠

(陕西财经职业技术学院，陕西 咸阳 712000)

矩阵形式下的韦达定理

叶雉鸠

(陕西财经职业技术学院，陕西 咸阳 712000)

把一元高次代数式表示成矩阵形式，由方阵的特征多项式的定义可以得知一元高次方程的解是矩阵的特征值。如果能够把矩阵对角化，那么一元高次方程的解也就得到了。对于一元5次方程根与系数的关系(韦达定理)建立矩阵形式下的表示关系，求出了五阶范德蒙德矩阵的逆矩阵。显然，范德蒙德矩阵的逆矩阵可以有一般的表示通式。

韦达定理；一元高次方程；范德蒙德矩阵；矩阵形式

1 一元高次方程的解就是矩阵的特征值

首先，一元高次代数式可以表示成矩阵式(1)

(1)

其次，由方阵的特征多项式的定义

得知，一元高次方程的解是下列矩阵式(2)的特征值(根)

(2)

如果能够把矩阵A(2)对角化，那么一元高次方程的解也就得到了。若n阶矩阵A与对角矩阵

(3)

相似，则λ1,λ2,…,λn即是A的n个特征值[1]。再根据相似矩阵的定义得知，应有可逆矩阵P，使P-1AP=Λ

即AP=PΛ

2 范德蒙德矩阵及其逆矩阵

以一元五次方程为例，探索AP=PΛ中的矩阵P的形式

x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5=0

由式(2)、(3)得式(4)、(5)

(4)

其中-a5、-a4、-a3、-a2、-a1均可用韦达定理的代数形式表示。

(5)

由AP=PΛ得式(6)

(6)

由式(6)推出式(7)

(7)

将式(7)代入AP=PΛ中之后，对角矩阵可以消掉。

ACD=CDΛ,AC=CDΛD-1=CΛ

即有式(8)

(8)

C为范德蒙德矩阵，而且C是P的简洁形式。这时，不妨令P=C。

(9)

对于五阶范德蒙德矩阵P式(9)，如何求其逆矩阵？ 根据定理：若|P|≠0，则矩阵P可逆，且

其中P*为矩阵P的伴随矩阵[1]。 由范德蒙德行列式的值[1]和行列式的性质3就可以求出五阶范德蒙德矩阵的逆矩阵。 经过计算推导，五阶范德蒙德矩阵P式(9)的逆矩阵为式(10)

(10)

其中

因为P-1又可以提取出来一个对角矩阵T,

P-1=TS,所以S(11)是P-1的简洁形式。

于是，由A=PΛP-1得

(11)

其中

……

至此，韦达定理就可应用矩阵表述为: A=PΛP-1或者A=S-1ΛS,

其中A,Λ,P,P-1,S分别用式(4)、(5)、(9)、(10)、(11)表示。

3 用一元二次方程进行验证

x2+a1x+a2=0

由式(4)、(5)、(9)、(10)、(11)推知式(12)～(16)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

因为

所以公式A=PΛP-1成立。

因为

所以公式A=S-1ΛS亦成立。

验毕。

对于一元n次方程根与系数的关系(韦达定理)亦可以建立以上矩阵形式下的表示关系。

[1] 同济大学数学教研室.《线性代数》(第三版)[M].北京：高等教育出版社，1999：14,25,55,144.

责任编辑 王菊平

Matrix form of Viete theorem

YE Zhi-jiu

(Shaanxi Technical College of Finance & Economics, Xianyang 712000, Shaanxi， China)

Firstly, the high degree algebraic with an unknown is expressed as a matrix. According to the definition of the characteristic polynomial of a square matrix, we know that the solution of a higher order equation is the characteristic value of the matrix. If we can get the diagonalization matrix of the matrix, the solution of the equation of higher order is obtained. When establishing matrix representation for the relationship between the root and coefficient of the five-order equation with an unknown (the Viete theorem), the inverse matrix of the five-order Vandermonde matrix is obtained. Obviously, the inverse matrix of Vandermonde matrix can have a general representation formula.

Viete theorem; once basic equation of higher degree; Vandermonde matrix; matrix form

O156.1

A

1003-8078(2016)06-0019-04

2016-10-25 doi 10.3969/j.issn.1003-8078.2016.06.06

叶雉鸠，男，陕西乾县人，副教授，硕士，主要研究方向为数学和经济学。