王 莉

（湖南汽车工程职业学院，湖南 长沙 410000）

二阶变系数线性微分方程的解法

王 莉

（湖南汽车工程职业学院，湖南 长沙 410000）

探讨微分方程解法，明确方程解法技巧，提出3种新的解决方案，拓展二阶变系数线性微分方程的处理方法。

二阶变系数；线性；微分方程；变量交换

微分方程来源于生产实践，建立在客观事物发展规律基础之上，能够全面、具体反映各类现象，帮助人们更好地了解事物发展规律，预测未来，其发展是社会实践的结果，二者互相作用，相互促进。

1 了解微分方程解法的意义

微分方程是自然学科及偏微分方程发展的重要基础，也是相关领域发展的主要驱动力。自发展以来，受到了多位学者的关注，且相关理论研究成果较为丰富，在一定程度上完善了微分方程理论体系。根据微分方程基本理论来看，任何非线性微分方程的解都能够纳入到相应的解组当中。不仅如此，高阶微分方程能够通过降阶法，简化其繁琐的内容，将其转化为一阶或者二阶方程进行求解。可见，低阶微分方程求解在整个微分方程求解中占据十分重要的地位，也是求解的开始。在数学领域中，任何一个一阶或者二阶微分方程都具有可解性特点，而变系数二阶线性微分方程难度较大[1]。目前为止，仅有一个近似解法，还没有一个较好的方法能够解决该问题，加之幂级数解法计算量较大，且难以求得结果，在理论上难以达到求解目标。因此加强对二阶变系数线性微分方程解法的研究十分必要，不仅能够丰富微分方程理论体系，还能够帮助我们寻找到一种较为简单的计算方法。

2 方程求解发展现状

要想更为深入地了解和掌握微分方程解决方法，需要明确其当前发展状况。诚然，该类方法应用较为广泛，且在理论层面上，求解结构也较为完善。但是具体求解方法并没有很多实际方法可以参考。一般都是已知的特殊函数方程，且多数只是借助幂级数解法，不仅方法繁琐，且运算量太大，增加了求解难度。很多学者经过不懈的努力，试图通过特殊的变换方式解决一类方程，但是可行性并不高，且不适用于陌生的变系数方程当中，在一定程度上阻碍了微分方程可持续发展[2]。信息时代下，一些计算机软件具有运算功能，但计算机技术终归是人们研究成果，如果理论上缺少完善的求解体系，在系统当中仍然无法较好的解决该问题，甚至会将问题变得更为复杂。

3 方程的解法分析

3.1 待定函数法的应用

一般来说，由于该类方程较为复杂，其中包括实常数等内容，为了能够高效求解，需要对方程进行相应的处理，具体是通过自变量变换，将原来的方程转变为常系数齐次线性方程。然后带入函数，对方程进行相应的整理，简化成为常系数化方程，最后对函数消除，获取精简方程，证明相关结论的正确性。

基于理论来看，在线性变换情况下，求解该类方程可以通过未知函数的变换实现方程常系数化。线性性质十分重要，能够保持微分方程的线性性质变换为保线性变换，在具体变换过程中，可以保持方程原有性质不发生任何变化，然后通过一些已知可解的方程达到求解目标。如

可以借助线性变换，将x=φ（t），转换为：

通过此获得了常系数微分方程，便将其中的函数进行相应处理，最后获得具体方程，达到求解目标。

例如：求解Besssl方程。

解：对上述方程进行相应处理，主要借助函数法，变换为：

3.2 自变量变换法

该方法在求解中较为常见，在应用中主要步骤如下：第一，利用双线性将原方程转变为常系数线性微分方程，然后结合常数变易等方法求解。第二，针对其中任何一个微分方程，可以将方程转换为标准形式，最后确定P（x）、Q（x），然后对他们做出常数的具体判断。第三，对于一般方程来说，可以依次检验并判断1Δ等是否是常数，以此来作为方程系数化的判断标准，如果可以，便可以进行线性变换，最后求简化后的方程。

3.3 常数变易法

顾名思义，常数变易法主要是将方程进行简易化处理，且该方法应用范围较广，只要获得了非齐次线性方程对应的基本解组，便能够利用该方法求解。在具体研究实践中，可以积极拓展思路、扩展应用范围，利用该方法求解。

一般来说，可以凭借自己所学知识观察或者分析方程，利用常数变易法设另外的特解，然后将原方程带入其中获取一个可降阶微分方程，最后得出原方程的通解。利用该方法，不仅能够快速找到方程中各要素之间的关系，还能够简化方程求解难度，更为高效、快速的解决实际问题，进而为后续研究工作奠定坚实的基础。综上来看，解决该类方程的方法并不多，在解决实际问题过程中，要坚持合理原则，先观察方程特点，选择合理的解法对方程进行相应的调整和简化处理，将其转换为可解方程，然后获取结果，发现事物之间的关系，从而提高研究有效性。

随着各领域的不断发展，微分方程的重要性愈发突出，然而现有求解方法还有待完善，需要学者加大研究力度，不断挖掘新解法，为各领域研究和发展提供更加简单、可行的解法，从而促使该方程的重要作用得到充分发挥，更好地探索客观事物发展规律。

[1]高杨,王贺元.一类二阶变系数线性微分方程的解法[J].高等数学研究,2014,01:77+82.

[2]邓勇.两类变系数二阶线性齐次微分方程通解的构造[J].西南师范大学学报(自然科学版),2011,06:1-5.

Second order linear differential equation with variable coefficients

WANG Li
(Hunan automotive engineering vocational college,Changsha Hunan 410000)

Discussion on the solution of differential equation and the technique of solving equation,3 new solutions are proposed,processing method of two order linear differential equation with variable coefficients.

Second order variable coefficient; Linear; Differential equations; Variable exchange

：A

10.3969/j.issn.1672-7304.2016.01.062

1672–7304(2016)01–0133–02

（责任编辑：吴 芳）

王 莉（1980-），女，湖南株洲人，讲师，研究方向：微分方程。