浙江省义乌市苏溪镇第三小学 郑祖挺

重视学生数学分析能力
——由一道数学习题引发的教学思考

浙江省义乌市苏溪镇第三小学 郑祖挺

自任教小学高段数学以来，我们很多数学老师总是会有这样一种感受，即分数应用题为什么这么难教？我们的学生为什么总是学不好？有时候学生的列式根本无法解释，思维混乱，最简单的数量关系及其变化总是乱用。更让我们生气的是，个别学生在学校做的好好的，但回家作业以后，却是做的一塌糊涂，多步计算的应用题，甚至草草了事，胡乱写了一步，让人大跌眼镜。因此，我也不断在怀疑自己的教学到底是哪一个环节出了问题？或是学生真的听不懂吗？有了这样的一个认知，我也慢慢认识到了严重性，学生分析问题的能力太薄弱了。

前几天，大学同学在班级QQ群发了一个六年级的数学分数应用题，是一道“已知比一个数多（少）几分之几是多少，并求这个数的问题”类型的习题，习题如下：某小区今年拥有电脑的家庭有210户，比去年增加了六分之一。该小区去年拥有电脑的家庭有多少户？显然，这类习题必须先找“单位1”，那么这个“单位1”到底是哪一个？学生不一定明白，所以有位学生是这么解答的：210×1/6=35(户)，210-35=175(户)，合起来写即：210×（1-1/6）=175(户)。可见，这里关键的错误是“单位1”找错，把“单位1”找成今年，导致用了减法来获得去年的分率。有的学生觉得这样貌似也说的通：把今年当成单位1，今年比去年增加了六分之一，去年就是六分之五，再乘一下就是去年的户数。真的可以这样理解吗？

我们不妨举一些例子，例子1：分一个饼，甲分得二分之一个饼，乙分得三分之一个饼，那么就是说甲比乙多了六分之一个饼，乙比甲少了六分之一个饼。例子2：甲完成了工程的二分之一，乙完成了工程的三分之一，我们可以得出“甲比乙多完成了六分之一，乙比甲少完成了六分之一”这样的结论吗？无可厚非，这样的表达是不正确的，当分数后接单位的时候，其充当的是数量，两个量便可以进行比较加减，但当无单位的时候，这时候分数就是一个量所占的分率，是比较“虚”的一种状态，两个量不能进行正常的加减，此时“单位1”却发生了变化，甲比乙多的部分，是占了谁的几分之几？显然应该是乙。这两个例子告诉我们，“单位1”的确定是非常重要的。

任教五年级的老师，都会深有体会，在分数单元，专门有一节《分数的意义》，明确了分数中的“单位1”，其某个分数占了“单位1”的几分之几。有时候应用题中的“单位1”是比较容易确定的，如部分与整体，显然整体就是“单位1”，如女生人数占了全班人数的二分之一，显然女生人数包含在全班人数之中，是一个包含关系，说明全班人数是一个大的整体，将男、女生进行了平分。而在类似本题中的比较的数量，就要明确谁是标准量，谁是比较量，本题中今年比去年增加了六分之一，显然，今年要和去年相比，以去年为参照、为标准，即去年是标准量，也就是“单位1”。当然，寻找“单位1”的方法还有很多，但都必须要抓住关键句。

解决了寻找“单位1”的问题，但另一个问题似乎又来了，学生为什么用乘法呢，为什么一会儿用乘法，一会儿用除法呢？很多学生在这里犯糊涂了，有时候教师没有深入讲解的话，单纯教授“单位1已知用乘法；单位1未知用除法”，但是学生确实没有真正体会其中的道理。当然，很多老师前期在新课中注重了方法产生的教学，让学生明白，在之后的教学中，便采取了口诀法。这样的方法无可厚非，不过，当学生习题做多的时候，方法模糊的时候，就会再次出现如上学生的解答。因此我们就应该重现过程分析，注重引导学生学会分析问题。

最好的方法便是数形结合，即采取画线段图的方法，把去年这个单位1确定线段长度，定下这个标准量，把它平均分成6份，而之后画出比较量的线段，它比去年多了1份，即它有7份。这样的7份，就是210户，每份便是30户，而去年单位1是6份，则去年总数就是180份。但是个别学生又要这样理解了：不是去年占了今年的7份当中的6份吗？不就是210×，这样的理解也是可以的。我们可以继续探究，去年是单位1，平均分成了6份，每份就是，今年比它多了这一份，就是，也就是说今年是，是一个假分数（这里可回顾假分数的产生），继续引导，是谁的呢？当然是今年是去年的，牢记去年是比较量，建立数量关系，即去年的就是今年，写成等式形式就是：去年×=今年，根据除法的定义，我们就可以利用除法求出去年的户数，即：210÷=180(户)，写成综合算式，即：210÷（1+）=180(户)。

随着过程分析的不断优化，方法越来越简化，但始终不能忘记的就是还原分析过程，让学生明白数形结合分析分数应用题的重要性，从复杂的句子不断进行分解，画画线段图，方便自身理解，我把这样的分析过程称之为数学语言翻译的一个过程。

回顾执教分数应用题的经历，要求学生在解题过程中画线段图，并写出相应的数量关系，训练了将近一个月，学生基本能够获得一定的经验，这使学生理解和分析应用题的能力得到了提升，不至于在今后的分数应用题中胆战心惊，看到题目字多就放弃，认为自己始终没有办法，其实只要认真分析，找准基本方向，其实大问题也便不是问题了。