赵梓媛 孟庆国 孙文军

(哈尔滨师范大学,黑龙江 哈尔滨 150025)



【书讯】

基于Matlab的二维正交网格夫琅禾费衍射场模拟分析

赵梓媛 孟庆国 孙文军

(哈尔滨师范大学,黑龙江 哈尔滨 150025)

二维正交网格夫琅禾费衍射场的计算较为复杂，衍射过程抽象，利用Matlab软件对其进行模拟分析，以便整体掌握二维正交网格衍射场的分布特点.用于夫琅禾费衍射的二维正交网格相当于两块黑白光栅的正交密接，其屏函数为二者之积.夫琅禾费衍射场能准确地实现屏函数的傅里叶变换，其中空间频率与场点坐标满足确定的替换关系，进而可计算出衍射场的光强分布.利用傅里叶变换的基本理论与Matlab软件计算模拟二维正交网格的夫琅禾费衍射场的频率域光强分布，分析光学参数变化对衍射场的影响，加深对光衍射及傅里叶变换理论的理解与掌握，为该领域的研究人员提供相应的理论与技术借鉴.

正交网格；夫琅禾费衍射；傅里叶变换

随着计算机的普及和软件的高速发展，计算机模拟已成为物理研究中，除实验、理论分析之外的较为重要的研究方法.Matlab在绘制图像上具有极其重要的作用，如今已经应用于数学、物理、经济、气象等各个领域.在光学图像中的应用也很广泛[1-8]，光谱图、衍射、干涉等图样的绘制越来越多地依赖于Matlab.在衍射领域，许多科研人员现已运用Matlab模拟了单缝、多缝及矩孔等多种光栅的夫琅禾费衍射场，高峰等人运用Matlab软件仿真了夫琅禾费单缝衍射[1]，孙文军等人利用Matlab分析多缝夫琅禾费衍射[2]，郝忠秀等人利用Matlab对矩孔夫琅禾费衍射场进行了模拟计算[3]，崔祥霞运用Matlab仿真了圆孔圆环的夫琅禾费衍射实验[4].

上述文献计算的都为衍射屏为单方向的受限或简单的二维受限情况，模拟计算过程较为简单，而二维正交网格光栅的夫琅禾费衍射公式计算较为复杂，可供参考的资料较少，给衍射的理论分析与理解带来了不便，本文基于光信息处理中傅里叶变换的基本理论，对二维正交网格的夫琅禾费衍射场的复振幅和强度分布进行计算.运用Matlab软件的计算和绘制功能模拟并分析二维正交网格的夫琅禾费衍射场，根据控制变量法改变各光学参量，分析衍射场随光学参量的变化.通过运用Matlab研究二维正交网格的夫琅禾费衍射场，加深了对夫琅禾费衍射的认识与理解，提高对衍射场的分析能力，加深了对光信息处理中傅里叶变换的基本理论的理解与掌握，直观地呈现了衍射斑的强度分布特点，便于整体掌握二维正交网格衍射场的变化规律.

1 基础理论[10，11]

如图1所示，衍射屏为xOy面内二维正交网格结构，光栅常数为d(x、y方向分别为dx和dy)，透光部分的缝宽为a(x、y方向分别为ax和ay)，其夫琅禾费衍射场经透镜汇聚于x′O′y′面上，并呈现频率域的衍射光斑分布.

图1 二维正交网格衍射光栅

二维正交网格相当于两块黑白光栅的正交密接，其屏函数为二者之积：

(1)

(2)

(8)

(9)

夫琅禾费衍射场准确地实现屏函数的傅里叶变换，其中空间频率与场点坐标满足下列关系：

(10)

(11)

衍射光强度分布为

(12)

其中,λ为入射光波长;F为汇聚透镜焦距，N1、N2分别为x、y方向上的光栅周期;x′、y′为接收屏上场点坐标;f1、f2为相对应的空间频率;θ1、θ2分别为x、y方向的衍射角.

2 模拟分析

根据空间频率与场点坐标的关系式(8)与(9)，可得到相对应的空间频率取值，再联立式(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)、(10)可求得衍射光强I.

2.1 光学参数对频率域衍射场的影响

计算中初步设定λ=600nm，F=30cm，ax=ay=0.8μm，dx=dy=2μm，N1=N2=6，得到衍射光强度分布如图2所示.由图2可知衍射中心光斑强度最大，频率域的衍射光斑沿x′、y′方向均呈现对称分布，且两个方向的分布一致，说明光波在两个方向上的受限程度相同.

图2 光强分布(λ=600nm，F=30cm， ax=ay=0.8μm，dx=dy=2μm，N1=N2=6)

图3为λ=600nm，F=30cm，ax=ay=0.8μm，N1=N2=6，dx=1.6μm，dy=2μm时频率域衍射光强分布，由图3可知，光栅常数改变不影响光强分布，根据衍射斑间距与光栅常数的关系Δx=λF/d及式(10)、(11)可知，衍射斑的频率间隔与光栅常数成反比，x方向的光栅常数变小，则频率域f1上的间隔变大.

图3 光强分布(λ=600nm，F=30cm， ax=ay=0.8μm，dx=1.6μm，dy=2μm，N1=N2=6)

图4为λ=600nm，F=30cm，ax=0.8μm，ay=1.2μm，dx=dy=2μm，N1=N2=6时频率域衍射光强分布，与图2相比发现缝宽的变化(晶格常数不变)并不改变衍射斑的位置，却使衍射斑的强度得到了重新分布.即缝宽越大，衍射效应越不明显.

图4 光强分布(λ=600nm，F=30cm， ax=0.8μm，ay=1.2μm，dx=dy=2μm，N1=N2=6)

图5为λ=600nm，ax=ay=0.8μm，dx=dy=2μm，N1=6，N2=4，F=30cm时频率域衍射光强分布.与图2相比，由于y方向上的光栅周期N2变小，使得原来的圆形衍射斑沿x′方向扩展，形成长轴沿x′方向的椭圆形光斑.可见两个方向上的光栅周期数不同时，频率域的衍射光斑形状会发生变化.

图5 光强分布(λ=600nm， ax=ay=0.8μm，dx=dy=2μm，N1=6，N2=4，F=30cm)

图6为λ=600nm，ax=ay=0.8μm，dx=dy=2μm，N1=N2=6，F=50cm时频率域衍射光强分布.与图2相比，当汇聚透镜的焦距变大时，衍射光斑的强度并未发生变化，但光斑之间的频率间隔及衍射光斑所占的频率范围都在增大.

图6 光强分布(λ=600nm， ax=ay=0.8μm，dx=dy=2μm，N1=N2=6，F=50cm)

2.2 衍射场的频谱提取

二维正交网格(正交密接黑白光栅)夫琅禾费衍射的频谱是二维的矩形点阵，在其基础上进行平面频谱提取，将得到全新的夫琅禾费衍射场光强分布，频谱提取后的衍射场将对应于不同的衍射屏.

图7 只保留中央一列衍射光斑的光强分布

图8 只保留中央一行衍射光斑的光强分布

向的多缝结构，即图7的频谱逆傅里叶变换为沿x方向的多缝光栅；图8为只提取中央一行分布的衍射光斑，则只对应于二维正交网格光栅xOy面上纵向网纹，相当于衍射屏为沿y方向的多缝结构，即图8的频谱逆傅里叶变换为沿y方向的多缝光栅.

图9与图10为只提取沿对角线分布的衍射光斑，它们分别对应于二维正交网格光栅xOy面上与其相垂直的网纹，相当于衍射屏为沿另外一对角线分布的多缝结构，即图9与图10的频谱逆傅里叶变换为沿与其垂直的多缝光栅.

图9 只保留fθ频谱中央一斜排衍射光斑的 光强分布三维图像

图10 只保留fφ频谱中央一斜排衍射光斑的 光强分布三维图像

3 结语

运用Matlab软件的计算与绘图功能模拟了正交网格的夫琅禾费衍射场光强分布，获得了不同光学参数下的频率域衍射光强分布图，分析了不同光学参数对衍射场分布的影响及不同频谱提取所对应的衍射屏变化.计算与分析方法具有形象、生动、简单、灵活等特点，为光信息处理等相关领域的其他师生在理论与技术上提供了重要的支持与借鉴.

[1] 高峰,赵文丽,曹学成.基于Matlab的夫琅禾费单缝衍射仿真[J].山东农业大学学报,2012,43(3):475-479. Gao F, Zhao W L, Cao X C. The simulation of lights fraunhofer single slit diffraction based on MATLAB GUI[J]. Journal of Shandong Agricultural University(Natural Science), 2012, 43(3): 475-479.

[2] 孙文军,苑冬梅,励强华.Matlab辅助的多缝夫琅禾费衍射分析[J].物理通报,2012(4):89-90. Sun W J, Yuan D M, Li Q H. The simulation of light fraunhofer mulriple slit diffraction based on MATLAB[J]. Physics Bulletin, 2012(4): 89-90.

[3] 郝忠秀,赵亚军,李立功，等.基于Matlab的矩孔夫琅禾费衍射场模拟计算[J].河北大学学报,2009,29(3)：266-269. Hao Z X, Zhao Y J, Li L G. On simulated calculation of fraunhofer diffraction from rectangular aperture based on MATLAB[J]. Journal of Hebei University (Natural Science Edition), 2009, 29(3): 266-269.

[4] 崔祥霞.圆孔圆环夫琅禾费衍射实验的Matlab仿真设计[J].物理与工程,2010,20(5)：34-36. Cui X X. Simulation design of the fraunhofer diffraction experiments of circular aperture and ring using MATLAB[J]. Physics and Engineering, 2010, 20(5): 34-36.

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[6] 钱晓凡,胡涛,张晔.基于Matlab的衍射场模拟计算[J].昆明理工大学学报,2004,29(3)：132-134. Qian X F, Hu T, Zhang Y. On simulated calculation of diffraction based on MATLAB[J]. Journal of Kunming University of Science and Technology (Science and Technology), 2004, 29(3): 132-134.

[7] 李松柏,吴加贵,卢孟春，等.基于Matlab的光栅衍射实验仿真与研究[J].西南民族大学学报,2010,36(5)：795-802. Li S B, Wu J G, Lu M C. Emulation and research of experiments of diffractive gratings based on MATLAB[J]. Journal of Southwest University (NATURAL SCIENCE EDITION), 2010, 36(5): 795-802.

[8] 陈聪,李定国.基于快速傅里叶变换的衍射现象的数值仿真[J].大学物理,2004,23(9)：46-49. Chen C, Li D G. The numerical simulation of diffraction based on fast Fourier transform[J]. College Physics, 2004，23(9): 46-49.

[9] 刘卫国.Matlab程序设计与应用[M].北京：高等教育出版社,2006.

[10] 姚启钧.光学教程[M].北京：高等教育出版社,2002.

[11] 赵凯华.新概念物理教程光学[M].北京：高等教育出版社,2004.

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SIMULATION AND ANALYSIS OF FRAUNHOFER DIFFRACTION FIELD FOR TWO-DIMENSION ORTHOGONAL GRID BY MATLAB SOFTWARE

Zhao Ziyuan Meng Qingguo Sun Wenjun

(School of Physics and Electronic Engineering, Harbin Normal University, Harbin, Heilongjiang 150025)

In order to show the diffraction field distribution, Matlab software was used as simulation and analysis of Fraunhofer diffraction for two-dimensional orthogonal grid. The Fraunhofer diffraction of two-dimensional orthogonal grid is equivalent to orthogonal joint of two pieces of black and white orthogonal gratings, and screen function is their product. Fraunhofer diffraction field is able to accurately realize the Fourier transform of screen function. Its spatial frequency and sites coordinates meet certain relations, consequently be able to calculate the distribution of the diffraction fields. The basic theory of Fourier transform and Matlab software are used to render the three dimensional diffraction intensity distribution image for the two-dimensional orthogonal grids, in order to analyze the relationship between the parametric variation and image, deepening the understanding and mastering of the theory of optical diffraction, providing a theoretical basis and technical supports for researchers in the field.

orthogonal grid; Fraunhofer diffraction; Fourier transform

2016-04-25

黑龙江省教育改革工程项目(No.JG2014010850).

孙文军，男，教授，主要从事物理教学科研工作,研究方向为等离激元光子学及半导体非线性光学.swjgood0139@126.com

赵梓媛，孟庆国，孙文军. 基于Matlab的二维正交网格夫琅禾费衍射场模拟分析[J]. 物理与工程，2016，26(6)：112-116.