董 键 崔秀芝

(曲阜师范大学 物理工程学院，山东 曲阜 273165)



理想气体趋向热平衡态的动力学模拟

董 键 崔秀芝

(曲阜师范大学 物理工程学院，山东 曲阜 273165)

从动力学出发，导出了二体和三体分子弹性散射的动量分配公式，据此，用计算机模拟了理想气体分子集团长时间碰撞后的行为，证明热平衡态分子动量的麦克斯韦分布主要是由分子的二体碰撞所致，三体碰撞贡献的比例很小.用此方法还研究了器壁对气体动量分布的影响和对气体温度的控制机制，以及气体趋向热平衡的过程.

动力学模拟；理想气体；分子散射；动量分配公式；麦克斯韦分布

1859年，英国物理学家J.C.Maxwell从概率的角度考虑提出理想气体热平衡态存在速度分布函数，并结合空间对称性，导出了这个分布函数(后称麦克斯韦分布律).这是一个显示概率论用于解决统计物理问题的成功范例，意义重大，影响深远. 麦克斯韦分布律的具体结果也被后来的实验基本证实[1-5].现将该分布律用分子动量的形式重写如下.

动量某方向的分布律(概率密度)：

(1)

动量大小的分布律(概率密度)：

(2)

麦克斯韦分布律是气体分子运动论的重要内容，是认识气体统计性质的重要窗口，在教学上有重要地位.然而，每一届学生学到这部分内容的时候，总要提出相同的问题：“气体分子动量是如何达成该分布的？此分布与器壁的存在有没有关系？”一般认为麦克斯韦分布律是通过气体分子之间的碰撞达成的，鉴于气体分子运动的复杂性，要从动力学上证明这个猜想不容易，而器壁的作用则未明确，它在麦克斯韦分布律中并未体现.在计算机技术发展起来之后，人们想到用编程运算来进行模拟证明，已经在不同程度上获得了一些结果[6-10]，证明编程模拟的可行性.但也存在不足，一是用弹性碰撞处理两分子碰撞前后的速度变换公式太复杂，可调参数太多，掩盖了物理直观性，而且仅限于两分子碰撞，不能处理三分子或更多分子的碰撞，无从考察多分子碰撞的影响；二是用力学方法追踪分子运动则运算量太大，能研究的分子数不能太多，追踪时间不能太长，统计涨落大；三是处理分子与器壁相互作用时没有太好的办法，或者认为垂直于器壁方向分子速度简单地反向，或者认为速度方向可任意变化，大小则保持不变，都当做弹性碰撞处理，器壁对气体温度的控制作用显示不出来.

为了克服以上不足，本文提出了另一种模型用于编程模拟，其特点是把分子速度的讨论改为动量的讨论，分子之间的碰撞用弹性散射处理，发展了不计散射过程而只考虑散射结果的二体和三体分子散射形式理论，简单优美；将分子与器壁的碰撞作为非弹性散射处理，分子与器壁散射后，动量大小在一定范围内任意取值，方向也是任意的.这样处理，大大方便了编程，效率提高，能模拟的分子数有很大的增加，模拟过程可以任意加长，结果证明：麦克斯韦分布律是通过分子之间的散射达成的，而且主要是由两分子散射所致，三分子散射比例很小；还可以直观地模拟气体从非平衡态向平衡态演变的过程，可以显示器壁对气体温度的控制作用，有助于增进对气体内部运动过程的认识，对教学有很好的辅助作用.

以下两节首先针对编程特点发展出两分子和三分子弹性散射理论，然后再编程模拟各种情况下气体动量的分布，与麦克斯韦分布律进行比较.

1 两分子弹性散射的形式理论

所谓理想气体，就是没有体积、没有内部运动的一些质点，它们只有平动，碰撞过程是近程的弹性散射过程，故无须考虑散射细节，只考虑弹性散射前后分子的状态.设两分子散射前的动量分别是p1和p2，散射后的动量分别是q1和q2，根据动量守恒和动能守恒，则有

(3)

(4)

由式(3)2-式(4)得

(5)

符号“·”表示矢量内积运算，下同.定义两个符号K和Q，它们由分子初态动量决定：

K=p1+p2，Q=p1·p2

将K和Q代入公式(5)消去q2得

(6)

对方程(6)配方，得

(7)

另一个分子的动量q2按下式计算：

(8)

2 三分子弹性散射的形式理论

在三分子弹性散射的情况下，沿用上一节的符号K和Q，并定义能量符号e，则

(9)

Q=p1·p2+p2·p3+p3·p1

(10)

(11)

根据后面两个分子动量之差的平方为非负的要求，取参数λ的范围为

(12)

设n1和n2是各向同性的两个单位矢量.借助于质心系，一个散射后分子的动量可取为

(13)

于是

(14)

(15)

(16)

由式(15)和式(16)得

若e′-2Q′≥0，则

(17)

由式(14)和式(17)解出

(18)

(19)

以下几节的模拟计算仅限于不高于三分子散射的那些过程.在编程时，随机地从气体中抽取两个或者三个分子，作为散射单元，按以上形式理论计算散射之后的动量分配.

关于分子与器壁散射的动力学，将在后面另行讨论.

3 只考虑两分子散射时热平衡态模拟结果

在具体进行模拟计算时，需要给所有分子赋予初始动量，可以随机地取值，本文研究的所有案例只给一个分子赋予非零的初始动量，其余分子的初始动量为零，表示严重偏离平衡分布.模拟软件采用Mathematica，它有便捷的处理矢量运算的函数和进行随机抽样的函数.图1是在只考虑两分子散射时热平衡态动量大小的概率密度ρ的模拟结果，图中的实线是按照公式(2)拟合所得的拟合曲线f2(p)，总体上看二者符合得不错(其特点是：单峰分布，概率密度在动量高端和低端都趋于零).图2是单方向的动量分布统计结果，实线是按照公式(1)拟合所得的拟合曲线，二者符合得也不错，若将三个单方向的动量拟合曲线作一张图，则高度重合，由此初步判断：麦克斯韦分布律与两分子散射有重大的关系.

图1 只考虑两分子散射的动量分布

图2 只考虑两分子散射的单向动量分布

图3 只考虑三分子散射的动量分布

4 只考虑三分子散射时热平衡态模拟结果

图3是只考虑三分子散射时热平衡态动量分布ρ模拟结果，图中的实线是用模拟数据按公式(2)拟合出来的拟合曲线，数据点与曲线在小动量端有所分离，在峰点附近偏离较大.若考察3个单方向的动量分布曲线，发现在零动量附近并不严格重合，说明三分子散射的动量分布不是严格的各向同性.

5 两分子散射与三分子散射共存时热平衡态模拟结果

图4 三分子/两分子散射数比例不同时分子动量分布的演化

气体中同时存在两分子散射和三分子散射，研究逐渐降低总散射次数中三分子散射的比例，看看热平衡态下动量分布是怎样变化的.图4是在3种情况下的模拟结果，对应三分子散射数与两分子散射数的比例依次是1∶1、1∶10和1∶100，图中实线是拟合得到的f2(p)曲线(坐标轴未标记，可参照图1)，可以看出，随着三分子散射数比例的降低，分子动量的热平衡分布从明显偏离到逐渐向麦克斯韦分布曲线趋近，说明理想气体分子之间主要是两分子散射，三分子散射比例相对较少，多于三分子散射的过程会更少，对分子动量分布的影响更加微弱.

6 在分子被器壁散射的情况下演示气体趋于热平衡的过程

分子被器壁散射，假设分子完全失去对散射之前动量的记忆，然后以一个随机的动量离开器壁，该动量的大小有一个上限p0，与器壁的温度相对应.此种情况下，演示分子系统向平衡态的演化过程用分子平均动能Ek来直观地表示，示例见图5，曲线a表示分子初始动量较小，分子要通过与器壁散射获得更多的能量才能提升分子平均动能，达到热平衡时，平均动能在某个值附近波动；曲线b表示分子初始动量较大，部分动量很小的分子通过与器壁散射获得较大的能量，提升了系统的平均动能，但是，一旦动量较大的分子与器壁散射，则将失去较多的能量，使系统平均动能有更多的下降，最后也趋向平衡态.两种情况下的p0相同，模拟计算的热平衡态下分子平均动能也相同(该值对应水平虚线位置，时间t取约化值)，这体现了器壁对气体温度的控制作用，同时气体丧失了对初始动量的任何记忆.

图5 在器壁控制下分子平均动能向热平衡的演化

7 结语

利用本文所导出的两分子和三分子弹性散射的动量分配公式，可以便捷地模拟理想气体由非平衡态向平衡态的演变，证明平衡态动量分布服从麦克斯韦分布，动力学机制就是分子碰撞.模拟结果还证明，麦克斯韦分布主要由两分子碰撞所致，多分子碰撞的比例很小；分子与器壁的碰撞会破坏麦克斯韦分布，器壁的主要作用是控制气体的温度，分子与器壁在表层交换动量和能量，通过扩散与碰撞，将器壁的影响传递给气体内部其他分子.

麦克斯韦分布是一个理想分布，用实际气体可以逼近，但在不满足条件时也可能偏离该分布，不可罔顾条件乱套公式.

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DYNAMICAL SIMULATION OF AN IDEAL GAS TENDING TO THERMAL EQUILIBRIUM STATE

Dong Jian Cui Xiuzhi

(College of Engineering and Physics, Qufu Normal University, Qufu, Shandong 273165)

Based on the momentum distribution theory of two-body and three-body molecular elastic scattering derived from dynamical consideration, a computer simulation was carried out to inspect the behavior of an ideal gas after multiple collisions between molecules, showing that the Maxwell distribution of molecular momentum of the gas in thermal equilibrium state is mainly caused by two-body collision, three-body collision dedicates only a small proportion. Mechanisms of the container’s impact to the momentum distribution and to the gas’s temperature controlling can be studied with this method, therefore the process of the gas tending to thermal equilibrium state can be traced.

dynamical simulation; ideal gas; molecular scattering; momentum distribution formula; Maxwell distribution

2016-05-07

董键，男，讲师，从事计算物理和实验物理研究.qfdongjian@163.com

董键,崔秀芝. 理想气体趋向热平衡态的动力学模拟[J]. 物理与工程，2016，26(6)：39-42,47.