基于移动-多面函数的高程异常拟合方法

2017-01-06周长志孙佳龙郭淑艳

测绘通报 2016年12期

周长志,孙佳龙,郭淑艳

(1. 山东省国土测绘院,山东济南 250102； 2. 淮海工学院测绘与海洋信息学院, 江苏连云港 222001； 3. 海岛(礁)测绘技术国家测绘地理信息局重点实验室, 山东青岛 266590； 4. 江苏省海洋资源开发研究院, 江苏连云港 222001)

基于移动-多面函数的高程异常拟合方法

周长志1,孙佳龙2,3,4,郭淑艳2

将多面函数拟合法获得局部区域的最优结果作为移动二次曲面拟合时选择搜索半径的依据。然后，将获得的搜索半径作为最优拟合距离，运用移动二次曲面法实现了高程异常拟合，即移动-多面函数拟合方法。以某区域获取的高程异常作为实例，比较了3种方法的拟合精度。结果显示，移动二次曲面法、多面函数和移动多面函数的中误差分别为1.499、0.870和0.304 m，可见，移动-多面函数法比另外两种方法的拟合精度都高。

高程异常；移动曲面拟合法；多面函数拟合法

确定高程异常的传统方法有很多种，主要包括平面拟合法、曲面拟合法、加权均值法、多面函数法、移动曲面法等。这些方法将所有待估参数作为非随机的变量，然后根据经典的最小二乘原理来解算最佳估值[1-3]。然而，拟合函数仅仅可看作高程异常数值的一个趋势面，其与实际的高程异常之间不可避免地会存在差别。其中，在有复杂地质条件的高山地区，这个差异会增大。目前，国内大量的实际运用和国外学者的研究成果显示，在地形出现起伏较陡或测区范围很大时，似大地水准面可能会出现较为复杂的形状[4-6]。在不同的GPS测区中，这些拟合GPS高程的模型法根据自身的特点分别适用于不同的测区中。本文根据移动曲面拟合法和多面函数曲面拟合法的特点，将移动曲面拟合法和多面函数曲面拟合法结合起来，提出了移动-多面函数法，并应用该方法进行了GPS高程拟合。

一、移动-多面函数拟合方法

移动曲面拟合法利用每一个数据点作为内插点，依据移动法利用该点四周的数据点解算其内插值，因为各个数据点没有参加内插，因此它可以给出可靠的精度估计信息[7-8]。用多面函数拟合法进行内插求值，核函数的选取、圆滑因子的选取与函数结点的选取都是待解决的关键[10]。利用移动曲面拟合法高精度的优点进行多面函数拟合法中函数结点的选择，将两个方法结合形成移动-多面函数的高程异常拟合方法。

基于移动-多面函数的高程异常拟合方法根据多面函数拟合法获得局部区域的最优结果，将该结果作为移动二次曲面拟合时选择搜索半径的依据。然后，根据选出的搜索半径作为最优拟合距离，运用移动二次曲面法得到高程异常。

根据该方法的理论，假设已知的高程异常点个数为m，待定的点个数为s。具体计算步骤如下：

1) 采用移动二次曲面拟合方法前，计算某一个待定点A到所有已知高程异常点的距离。

2) 选取距离高程异常待定点A最近的n个已知点为多面函数核函数的结点(n为计算多面函数的最少已知点个数)，利用多面函数计算所有待定点的高程异常值。

3)n依次递增，直至n=m。

4) 比较以多面函数的核函数作为距离指标，计算n个已知点在核函数距离范围内的待定点的高程异常变化值Δξ及其变化值的平均值。

5) 以平均值最小时所对应的n作为A点进行移动二次曲面拟合时选取的已知点的范围，再根据步骤1)计算的A点到各已知点的距离，确定移动二次曲面拟合时的搜索距离。

6) 依此类推，将移动二次曲面拟合和多面函数拟合结合确定所有待定点的高程异常值。

二、算例分析

本文数据为某区域D级控制网布设的17个控制点，以两个控制点间的距离作为搜索半径，经过计算，将6000—8000作为搜索半径的取值范围。在取值范围内选取不同的搜索半径，运用移动二次曲面法对数据进行高程异常拟合试验，拟合的结果如图1所示。

图1 移动曲面法搜索半径不同时高程异常曲线

从图1可以看出，运用移动二次曲面法对数据进行高程异常拟合时，不同的搜索半径下拟合所得结果与实际值相差较大，且不存在规律性。然而，搜索半径在移动二次曲面法中是关键参量，因此，选取一个合适的搜索半径是至关重要的。图1中显示，当搜索半径取7000时，试验拟合出的高程异常值很接近实际值。因此，当选取一个合适的搜索半径时，运用移动二次曲面法可以得到精度较高的拟合结果。

在17个控制点中，按点号顺序分别选取不同数量的点作为已知点。当已知点数量分别为3、4、5、6、7时，运用多面函数法对数据进行高程异常拟合试验，拟合的结果见表1。

表1 多面函数法不同已知点数下高程异常数据表

在选取不同数量的已知点时，试验拟合结果的变化如图2所示。

图2 多面函数法不同已知点数下高程异常曲线

从表2可知，运用多面函数法对数据进行高程异常拟合时，不同数量的已知点下拟合所得结果与实际值之间均存在差值，但拟合结果存在一定的规律性。当已知点数量逐渐增多时，拟合结果逐渐向实际值逼近。图2中，更加清晰地反映了该规律，当已知点数量为7时，试验拟合出的高程异常值最接近实际值。因此，在控制点数量范围内，选取的已知点数量越多，运用多面函数法拟合高程异常的精度将越高。在图2中，13号点的高程异常值在不同已知点数下均与已知值有较大差异。结合表1可分析得出，由于13号点Y坐标最小，与已知点距离相差较远，所处地点较偏导致上述差异。因此，可以猜测已知点分布情况不同，即已知点选取方式不同可能影响多面函数法拟合高程异常的精度。

在所有控制点中，按不同方式选取n个点作为已知点。将所有数据分别按X坐标、Y坐标递增和递减进行排列，选取前n个点作为已知点，本文中根据上一试验选取7个点。另外，将X坐标、Y坐标排序，选取其最大值最小值和中间值，即分布在测区4个边和中心的点，并且选取高程异常相差最大的两个点作为已知点，这些点均匀分布在测区中。在本文中，选取1、3、4、13、2、7、12这7个点作为均匀分布的已知点。在已知点选取方式不同的情况下，运用多面函数法对数据进行高程异常拟合试验，对拟合结果求中误差，最终结果见表2。在已知点选取方式不同时，试验最终结果的变化如图3所示。

表2 多面函数法已知点选取不同时高程异常中误差数据

图3 多面函数法已知点选取不同时高程异常中误差曲线

由表2可知，已知点分布情况不同时，运用多面函数法对数据进行高程异常拟合所得到的结果精度不同，拟合结果也不存在规律性。当已知点均匀分布时，拟合结果的精度最高。图3清晰地反映了当已知点均匀分布时，试验拟合出的高程异常中误差最小，精度最高。因此，运用多面函数法进行高程异常拟合时，选取均匀分布的控制点作为高程异常拟合的已知点，拟合得出的结果精度最高。

综上，移动-多面函数法需要选取合适的搜索半径和已知点个数，并且选取的点应该均匀分布在测区中。首先根据算法流程，利用多面函数法拟合可得到局部区域的最优结果，该结果可作为移动-多面函数法的搜索半径。本文中，运用Matlab对该算法进行了运算，最终计算得出合适的搜索半径为7120。其次，通过比较和分析，可以得出在该算例中，多面函数法已知点为7个时精度达到最高。因此，本文中移动-多面函数法选取7个点作为已知点。最后，关于选取测区中分布均匀的点作为已知点这一方法，由于无法用算法的形式进行表达，暂时只能人为进行选取，这一点仍需改进。本文中，通过人工选取的7个均匀分布的点作为移动-多面函数法拟合高程异常时的已知点。

在上述分析的基础上，将17个控制点中的8—17号点作为高程异常检核点，运用移动-多面函数法进行高程异常拟合试验。将移动-多面函数法拟合得到的结果与上述两种方法进行对比分析，3种方法所得高程异常数据见表3。3种不同方法下，高程异常拟合的结果变化如图4所示。

从表3可知，3种方法拟合出的高程异常值各不相同。通过分析高程异常中误差发现，移动二次曲面法、多面函数和移动多面函数的中误差分别为1.499、0.870和0.304 m，可见，移动-多面函数法比另外两种方法的拟合精度都高。图4展示了3种方法之间的对比，可以看出，多面函数法存在较大的异常值，移动二次曲面法虽然变化趋势与高程异常真值比较接近，但与真值之间存在较大的平均误差，只有移动-多面函数法与真值变化趋势基本一致。

表3 3种方法下高程异常数据

图4 3种方法下高程异常值曲线图

三、结论

通过对移动二次曲面法和多面函数法不同情况下的多次试验，充分了解两种方法的优缺点，将两种方法结合为移动-多面函数的高程异常拟合方法。该方法不盲目地选择搜索半径，不仅顾及了局部拟合效果与整体拟合效果的统一性，也顾及了多面函数的核函数与欧氏距离之间的差异性。然而，利用该方法进行拟合时，对于多面函数的核函数和平滑因子的选取并未顾及，这些问题需要进一步研究。

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Height Anomaly Fitting Method Based on Mobile-Polyhedral Function

ZHOU Changzhi,SUN Jialong,GUO Shuyan