温玉卓，唐胜达，邓国和

(1．广西师范大学经济管理学院，广西桂林541004；2．广西师范大学数学与统计学院，广西桂林541004)



随机环境下相关多险种风险过程破产时间的Asmussen算法

温玉卓1，唐胜达2，邓国和2

(1．广西师范大学经济管理学院，广西桂林541004；2．广西师范大学数学与统计学院，广西桂林541004)

本文提出并建立了随机环境下相关多险种的风险过程，在索赔服从PH分布下，本文将Asmussen方法推广应用于随机环境下相关多险种的风险过程，利用随机流体队列理论，给出了这一风险过程的破产时间的Laplace-stieltjes 变换(LST)的表示式、最终破产概率以及破产赤字分布，最后本文给出一个数值实例来说明相关结论的计算。

风险过程；破产时间；随机流体队列；相关多险种

随着保险公司经营规模的不断扩大，险种多元化已成为一大趋势，单一险种的风险模型已经不能满足保险公司度量多重风险的要求，因此，双险种甚至多险种风险过程更符合保险公司实际，对保险公司的风险度量也更为准确。很多学者曾对经典风险模型在险种方面作了扩展[1-4]，但这些文献均忽略了随机环境对保险公司运营的影响，没有利用风险过程来探讨与破产时间相关的一些性能指标量。文献[5]只是考虑了随机环境下的单一险种问题，而没有考虑多险种间的相互影响，基于此，本文在已有研究的基础上，提出并建立在随机环境影响下相关多险种风险模型，同时将Asmussen算法推广应用于随机环境下相关多险种风险过程中，由此讨论这类相关多险种的与破产时间相关的指标，如破产时间的Laplace-stieltjes 变换(LST)、最终破产概率以及破产赤字等。

1 模型

本文首先建立随机环境影响下相关多险种的风险模型，为简化表述，本文只考虑两类相关险种。对于两类以上的相关险种的建模与分析可由本文方法类推。

设有两类险种X(1)、X(2)，这两类险种相互关联相互影响，当其中一类险种发生索赔时，可能同时诱发另一险种发生索赔，即当发生索赔时，可能出现3种情况：仅对X(1)进行赔付；仅对X(2)进行赔付；对X(1)和X(2)同时进行赔付。这3种情况每次仅有一种情况发生，根据这一索赔特点，记X(3)=X(1)+X(2)为“虚构险种”，即当发生索赔时，X(1)、X(2)、X(3)每次仅有一类险种发生赔付，从而，建立如下风险过程：

U(t)=u+ct-St，

(1)

于是我们称上述定义的风险过程(1)为随机环境下相关多险种风险过程。

本文总是假定风险过程⑴满足正的安全负荷条件：

(2)

在本节中，我们建立了外界随机因素影响下的相关多险种的风险模型，选择合适的Q(k)，k=1，2，3及PH分布形式，减弱某些相关程度条件，风险过程(1)可简化为经典风险模型及其他风险模型的各种形式[7-9]。 本文提出的模型类似于文献[5]，本文对此模型做了如下推进：文献[5]中考虑的是单一险种，本文考虑的是多险种，同时允许险种间存在相关性。在进行风险过程的性能分析时的方法也各不相同。下面，将对上述随机环境下相关多险种风险过程(1)进行深入分析。

2 主要结果

图1 风险过程的样本路径与对应的随机流体队列的样本路径Fig.1 Sample paths of the risk process and the corresponding SFQ

风险过程的破产指标量求解的一般分析方法是通过风险过程的更新特点推导其满足的微分-积分方程，通过求解方程得到有关破产的性能指标，在这个方法中，特征方程的特征根求解十分重要，这个方法的主要缺点是特征根的求解具有不稳定性，从而导致它对整个运算结果的准确性产生很大影响。

随机流体队列模型(stochastic fluid queue， SFQ)是目前研究十分活跃的领域，它已被成功应用到网络通讯、柔性制造、供应链、火灾防控、风险理论等领域。Asmussen[10]于1995年首次采用随机流体队列来分析经典风险，Badescu[11-12]、Ramaswami[13]等将这一方法推广应用。采用随机流体队列理论来分析风险过程，回避了特征方程的求解不稳定性问题，通过随机流体队列模型与拟生灭过程的相似性，可直观地分析求解风险过程的性能指标量。同时，随机流体队列模型的求解也具有收敛速度快的特点[14]。因此，随机流体队列理论成为分析风险过程的有效手段之一。在本文中，我们将Asmussen的这一方法推广应用于随机环境下相关多险种风险过程(1)中。为此，我们先给出破产时间的定义。

定义1τ=inf{t≥0，U(t)≤0}，我们称τ为风险过程(1)的破产时刻， 若对任意t，都有U(t)>0，则令τ=+∞。

定义破产时刻τ的分布函数为：

Rij(u，x)=P{τ≤t，J(τ)=j|J(0)=i，U(0)=u}。

为方便记述，我们引入下列符号：

令

Q- +=em⊗Im⊗b(·)；Q- -=Im⊗Im⊗B(·)。

根据随机流体队列理论，我们有如下结论：

(3)

(4)

下面定义首达时(firstpassagetime，FPT)：

θ=inf{t>0，V(t)=u|V(0)=u}，

χ=inf{t>0，V(t)=0|V(0)=u}，

其中：θ表示初始水平为u的随机流体队列首次回到初始水平u的时间，显然，θ与流体队列的初始水平无关；χ表示初始水平为u的随机流体队列首次达到水平0的时间。记θ与χ相应的分布函数为：

；

注：1.i，j∈Em；l，v∈En；k=1，2，3。

(5)

文献[14]给出了Γ(x)可由如下Riccati方程求得：

下面分析随机环境下相关多险种风险过程(1)的破产时刻。如图2所示，θ与χ有如下关系：

(6)

我们将首达时χ分成两部分，即水平过程从初始水平u出发，再次回到水平u，然后水平过程从水平χ出发，最终达到水平0，于是有：

将上式改写成矩阵形式，注意到式(5)，定理即为所证。证毕。

由以上证明可以看出，随机环境下相关多险种风险过程(1)转化为随机流体队列是证明的关键，同时式(6)建立了风险过程的破产时间与随机流体队列首达时之间的数量关系，从而使得证明成为可能。在定理1中，令s=0，则有如下结论：

推论1 设给定初始盈余u及初始环境状态，则随机环境下相关多险种风险过程(1)的最终破产概率为：

(7)

同时，根据PH分布的性质，我们可以推得如下结论：

3 数值实例

为了说明本文的理论结果，下面给出一数值实例：考虑随机环境下相关多险种风险过程，设背景过程的状态空间Em={1，2}，其中1表示高风险状态，2表示低风险状态，背景过程对应转移率矩阵分别设为：

图2 τ与χ的对应关系Fig.2 Relationship between τ and χ

图3 两状态随机环境下相关多险种的破产时间的概率密度曲线。Fig.3 Density probability function of ruin time of the dependent multi-type risk process in two-state stochastic environment

4 结论

本文提出并建立了在随机环境下相关多险种的风险过程，即一类由Markov随机环境过程同时影响索赔大小和频率，且险种间存在关联性的风险过程，在索赔服从PH分布情形下，将这一风险过程转化为随机流体队列模型，采用随机流体队列理论，给出了这一风险过程的破产时间的LST变换的表示式，给出了最终破产概率以及破产赤字分布。 本文的结论具有实际可操作性，这些结论对于保险公司分析外界随机环境因素及险种间的关联性对保险业务影响提供了理论基础，对保险人规避风险，稳健经营具有十分重要的作用。

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(责任编辑 黄 勇)

Asmussen’s Approach to Ruin Time of the Dependent Multi-type Risk Processes in a Stochastic Environment

WEN Yuzhuo1，TANG Shengda2，DENG Guohe2

(1.College of Economics and Management， Guangxi Normal University， Guilin Guangxi 541004， China; 2.College of Mathematics and Statistics， Guangxi Normal University， Guilin Guangxi 541004， China)

In this paper， a dependent multi-type risk process with a PH claim distribution in a stochastic environment is proposed. Using Asmussen’s method， this risk process is transformed into stochastic fluid queues (SFQ). By the theory of the SFQ， the Laplace-stieltjes transform (LST) of the ruin time， the ultimate ruin， and the distribution of the deficit are obtained. Finally， a numerical example is given to illustrate the theoretical results.

risk theory; ruin time; stochastic fluid queue; dependent multiple-type insurance

10.16088/j.issn.1001-6600.2016.03.010

2016-01-18

国家自然科学基金资助项目(11461008)；教育部人文社会科学研究基金资助项目(13YJA910003)；广西人文社会科学发展研究中心青年专项项目(QNYB13016)；广西人文社会科学研究中心“珠江-西江智慧经济带研究团队”阶段性成果课题

邓国和(1969—)，男，湖南桂阳人，广西师范大学教授，博士。E-mail: dengguohe@mailbox.gxnu.edu.cn

O211.9

A

1001-6600(2016)03-0068-06