成 林

(西安石油大学 地球科学与工程学院，西安 710065)

地面地震高斯射线束正演

成 林

(西安石油大学 地球科学与工程学院，西安 710065)

高斯射线束正演方法是将射线理论和波动方程理论相结合的一种地震正演方法，充分利用了射线理论计算速度快、波动方程理论计算精度高的优点.通过高斯射线束表达式和编程实现地震记录合成的基础上，给出了水平地质模型的计算实例，并对比分析了高斯射线束法、普通射线法、波动方程法正演的特点.通过理论分析和实际地质模型可以得出：(1)高斯射线束正演方法效率高，计算速度快，在复杂模型中甚至超过普通射线法的计算速度；(2)高斯束法由于在断点处存在绕射能量，计算中不存在奇异区(阴影区、焦散区等)；(3)高斯束法合成记录不仅反映地震波的运动学特点，而且反映波的高频动力学特点，计算结果可与波动方程法计算结果一致.

高斯射线束；射线追踪；波动方程；地震正演；合成地震记录

在石油勘探中，地震勘探一直是很重要的方法之一.地震勘探有反演和正演两种方法.地震反演是利用地震反射波、绕射波等波场信息来模拟地层的地质构造的方法.但是地震反演具有不稳定性和结果多解性问题.为了解决这些问题，一般用已有的地质信息和理论知识结合来建立正确的地质模型，通过迭代法，逐渐逼近真实解.所以正演技术在地震勘探中越来越受到关注和重视[1-5].

正演方法在地震勘探中的发展和应用，确定了波动理论和射线理论两种地震技术.波动理论和射线理论可以将横向不均匀介质中的高频波记录合成，但是对焦散区、临界区等奇异区域计算出的振幅趋于无穷，因而失效.因此在1982年Cerveny等人又提出了高斯射线束正演方法，这种方法结合了波的动力学特征和运动学特征，不仅适用于均匀介质，而且在复杂的非均质介质中同样有着较好的效果.该方法具有速度快、精度高的特点.

1 高斯射线束正演方法理论

1.1 二维高斯射线束表达式

根据Cerveny等人在二十世纪八十年代初期提出高斯射线束正演方法，可以得知二维高斯射线束表达式为公式(1)，集中于射线附近的高频渐进时间调和解，该解在频率域具有如式(2)中的表达形式.[6]

(1)

在公式(1)中：μ1表示位移分量；τ11表示应力分量(其中包含拉梅常数λ和μ)；h1，h2和h3分别为坐标c1c2和c3对应的标量因子，且h1=1.这里只研究c2=0的平面.

(2)

图1 二维高斯射线坐标系

公式(2)中各项的意义：

U(s,n,ω,t)表示了纵波位移，(s,n)为沿某一中心射线的射线坐标系坐标，s为到射线原点的距离，n为到射线的距离，ω为圆频率即ω=2·π·f，t为时间参量；

K(s)=v(s)Re[p(s)/q(s)]

表示高斯射线的相前曲率，主要反映波前面的几何形状；其中p(s)和q(s)为地震波沿中心射线变化的两复函数，并且他们满足如下微分方程：

(3)

L(s)表示高斯射线束有效宽度的一半；

A(s)是沿中心射线地震波的位移幅值.对于层状介质，假定射线从原点s0出发，经N个任意界面反射回到地面接收点R，则R处接收到的中心射线振幅可以表示为：

(4)

图2 波在界面上的反射与透射示意图

图3 垂直射线剖面中的振幅曲线

图4 检波点R附近的一条射线Ω

式(4)中s为射线路径上的任意点，Ri为界面反射或透射系数，ρ为入射线一侧的介质密度，v为入射线一侧的地震波速，而ρ′和v′则分别表示生成射线一侧的密度与速度，αi和βi分别表示以地层界面切线方向为水平坐标轴的局部坐标系中，入射角和生成线与局部坐标系X正向的夹角，如图2.

式中，ε=ε1+iε2.通过改变ε1和ε2，可以将射线的半宽度进行调节，确保有较高的计算精度.由方程(2)可见，从射线中心开始波场是以指数规律逐渐向外衰减的.如图3所示，在垂直射线的剖面内振幅为钟形曲线，这就是高斯射线束名称的由来.

1.2 高斯射线束合成地震记录

根据高斯射线束理论计算地震波场时，可分为3步：(1)做射线追踪；(2)作动力学追踪;(3)求得波场值.上述介绍如何在频率域中计算一条中心射线的高斯射线束.高斯射线束合成地震记录方法有：频谱法、褶积法和波包法，其中波包法效率最高.[7-8]

例如未得到某介质中R点的波场值，需利用高斯射线束正演将R点附近的波场贡献叠加，然后转换到时间域.设射线出射点为O，检波点为R，并位于射线束的有效半宽度范围内，则R点的振幅A(R),旅行时τ(R)，可由O点的振幅A(O)及旅行时τ(O)近似求得.如图4所示，Q点为R点的波前与射线Ω的交点，只要知道sQ_sO(即Q点到O点的射线弧长)便近似求得A(R)和τ(R)的值.

射线Ω对检波点R处波场的贡献为

(5)

而检波点R处的总波场就是对所有射线求和的结果，即

(6)

为了求得合成记录，我们引入震源函数：

f(t)=exp[(2πfmt/γ)]2cos(2πfm+ν)

(7)

现在用u(R,t)表示时间域的实际波场，可由方程(7)的傅里叶变换求得：

(8)

(9)

(10)

g为波包，由于f(t)是高频函数，所以g为高频的波包.

f(t)≈exp[(2πfmt/γ)]2cos(2πfm+ν)

(11)

式中fm为子波主频，γ为控制子波包络宽度的参数，ν为控制子波相位的参数，此子波也称Puzyrev子波或高斯包络子波.根据Cerveny 1983的文章，可知波包g的近似解析表达式：

(12)

1.3 二维均匀介质线性界面高斯射线束合成记录p、q值的求取

经过运动学追踪，就有了中心射线，在此基础上可以进行高斯射线束的动力学射线追踪，即求得p、q的函数值.函数p(s)、q(s)在高斯射线束中起着非常重要的作用，它们决定了高斯射线束能量的分布状态，也表征沿射线传播方向的高频地震波场动力学特征，也正是因为这一点，才使得高斯射线束正演方法优于一般的射线正演方法.主要还是求检波点处p、q的值.下面进行p、q值的求取在二维均匀介质同一个层内中，速度是不随位置发生变化，则

(13)

故式(13)可以化为：

(14)

解此一阶常微分方程得：

(15)

式中C1和C2为任意常数，选取两组相互独立的初始条件

可求得：

(16)

式中v(1)为炮点处速度值；另外，由于在线性边界上，界面曲率为0，结合边界条件式(16)可知检波点处p、q值为：

(17)

式中v(i)为第i段射线传播的速度，τ(i)为相应的时间，M为射线上的总段数.

由式(17)可知：

(18)

故有

(19)

2 高斯射线束算法的实现及实例分析

实际计算表明高斯射线束法数值模拟是有效的，根本不需要在两点间作射线追踪，从而使得运动学追踪部分的计算速度比普通射线法要快.利用高斯射线束法合成地震记录可以明显看出地震波的动力学特征，使得计算精度比普通射线法要高，而且与波动方程效果相差不大，但计算速度比波动方程法快得多.[9]下面我们通过水平地质模型实例来具体分析高斯射线束正演方法的特点.

该模型为一个两层的水平层状模型，表1为这两层介质速度、密度、厚度参数和观测系统参数，图5为此模型的运动学追踪图，图6为利用高斯射线束法合成的炮集记录，图7为利用试射法合成的炮集记录，图8为利用波动方程法合成的炮集记录.在地震勘探中，水平层状模型是比较理想化且简单的一种模型，且在构造简单的地区的地下地质构造与这个模型基本类似，因此用这个模型可简单地试出程序的有效性和在检验高斯射线束的优点时，可以明确表达出.

表1 水平层状模型观测参数及地层参数

从该模型的运动学追踪图5可以看出：射线从-90°到90°打出，±90°打出的射线沿地面传播，形成直达波(图8地表附近的水平红线)；其他角度的射线向下传播，遇到第一个界面发生了反射和透射，反射波回到地表被检波器接收到，形成第一层的反射波；透射波继续向下传播，遇到第二个界面再次发生反射和透射，反射波传播到地表就形成了第二层的反射波，透射波继续向下传播，由于没遇到反射界面，此部分能量就损失掉了.从地表接收情况来看，水平层状地层射线追踪不存在射线覆盖不到的阴影区域，所以对于此种简单模型用普通的射线方法也可以获得良好的正演效果，如图7，可以进行构造方面的正演研究.

图5 水平层状模型运动学追踪图

图6 水平层状高斯射线束法炮集记录

图7 水平层状试射法炮集记录

图8 波动方程法炮集记录

对比图6、图7和图8，可以看出炮集记录有以下特点：

(1)直达波的时距曲线(3个炮集记录中同相轴①)为过炮点的直线，反射波的时距曲线为双曲线，并且在同一地震道上直达波比反射波到达时间早；对于同一条反射波同相轴，零炮检距处的地震道上旅行时最小，随炮检距的增大，旅行时逐渐增大；对比两条反射波同相轴可知，反射界面越深，反射波时距曲线的曲率越小.这是由于深度越大，反射界面以上地层的均方根速度越大，相应的正常时差就越小，因此同相轴就越平缓，曲率就越小.

(2)高斯射线束法合成的地震记录体现了一定的地震波动力学特征，和波动方程法合成记录相似，如图6和7，各波能量有一定差异；对比两个反射界面的振幅可知，反射同相轴的能量随界面深度的增大而减小，这主要是因为界面越深，传播的射线路径越长，衰减的能量越多，振幅就越小；对于同一同相轴，零炮检距附近能量较强，随炮检距增大反射能量逐渐减弱，这也是由于炮检距越大，反射路径越长，能量衰减越厉害造成的.由此可以看出高斯射线束正演方法不仅考虑了不同深度上能量的变化，还考虑了不同入射角射线能量的差异，所以此方法可以在一定程度上体现地震波的动力学特征.而用试射法得到的合成记录，如图7，各波同相轴的振幅一样，不能体现地震波传播的动力学特征，这是普通射线法的一大缺点.

3 结论

通过计算机，利用C++语言编写的高斯射线束程序，对水平层状地质模型进行运动学追踪和地震记录的合成，并把其结果与试射法、波动方程法计算合成记录相对比得出下列两个结论

(1)高斯束法结合了普通射线正演和波动力学正演两种方法的优点，同时考虑了波场的运动学和动力学特征，适用于复杂的非均匀介质模型，还能考虑介质的吸收作用，并且不需要两点射线追踪的计算，具有速度快、精度较高的特点，对焦散区、临界区及暗区等奇异区域都具有较好的计算效果.

(2)在应用方面，可利用高斯射线束地震记录合成技术，可对波场进行快速的理论研究，进行野外数据采集工作的设计，而且还可作为野外数据采集现场质量控制的依据，也有助于地震资料的处理和解释.

[1] 李辉峰，徐峰.地震勘探新技术[M].北京：石油工业出版社,2009.

[2] 邓飞，刘超颖.三维射线束快速追踪及高斯射线束正演[J].石油地球物理勘探，2009，44(2)：158-165.

[3] 江玉乐，雷宛.地球物理信号与信息处理教程[M].北京：地质出版社，2006：80-89.

[4] 刘学才,周熙襄,沙椿.三维高斯射线束法合成三分量VSP记录[J].石油地球物理勘探,1995,30(5) :669～680.

[5] 赵改善.快速射线追踪算法[M].北京：石油地球物理勘探杂志，1991.

[6] 冯德益.地震波理论应用[M].北京：地震出版社，1988.

[7] 邓飞，刘超颖，赵波，等.高斯射线束正演与偏移[J].石油地球物理勘探，2009,44(3)：265-269,281.

[8] 郭全仕,邬达理,唐金良,等.井间地震反射波成像技术探讨[J].石油物探,2005,44(5):439-444.

[9] 刘学才.三维高斯射线束地震模拟[J].石油地球物理勘探，1995，30(5)：669-680.

[责任编辑 仲 圆]

Gaussian Beam Forward Modeling on the Surface Seismic

CHENG Lin

(School of Earth Sciences and Engineering, Xi’an Shiyou University, Xi’an 710065, China)

The forward modeling by Gaussian beam method is essentially a seismic forward modeling method that combines wave equation and ray theory, which makes full use of the advantages of the fast calculation of ray theory and the high accuracy of wave equation theory. In this paper, based on Gaussian beam function and programming to achieve the synthesis of seismic records, the calculation example of horizontal geological model is given, and the characteristics of Gaussian beam method, ordinary ray method and wave equation method are compared and analyzed. Through the theoretical analysis and the practical geological model test, it can be concluded that as follows. Firstly, forward modeling by Gaussian beam method is of high efficiency, fast calculation speed, and its calculation speed is even faster than that of the ordinary ray method in the complex model. Secondly, due to the presence of diffraction energy at the break-point, the singular region (region of a shadow area, etc.) does not exist in the calculation of Gaussian beam method. Thirdly and lastly, the synthetic record of Gauss beam method not only reflects the kinematic characteristics of seismic waves, but also reflects the high frequency dynamic characteristics of the wave. The calculation results are consistent with the calculation results of the wave equation method.

Gaussian beam; ray tracing; wave equation; seismic forward modeling; synthetic seismic record

1008-5564(2016)06-0086-06

2016-04-25

中国地质调查局地质项目(1212011085499)

成 林(1991—)，男，陕西武功人，西安石油大学地球科学与工程学院硕士研究生，主要从事应用地球物理研究

P315.2

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