杨建荣，程元飞，毛润华，周 婷

(上饶师范学院 物理与电子信息学院，江西 上饶 334001)

辛普森积分法求解圆电流激发的磁场

杨建荣，程元飞，毛润华，周 婷

(上饶师范学院 物理与电子信息学院，江西 上饶 334001)

利用辛普森积分法，借助数学软件，获得了圆电流磁场在整个三维空间分布的新解析解。根据解析解分析了圆电流的圆心和中心轴线上的磁场；找到了圆电流磁场三个分量之间的数量关系；直观地描述了磁场的大小、方向以及空间分布规律；定量分析了圆电流轴向磁场的匀强区变化。

辛普森积分法；圆电流；磁场；空间分布

圆电流激发的磁场在电子、电工和通讯等众多工程领域中有着广泛的应用，它在空间的分布是电磁学中重要而典型的一个问题[1]。许多学者对圆电流激发的磁场的空间分布，进行了求解，由于积分的复杂性，不管是矢势方法[2]，还是采用毕奥-萨伐尔定律求解，所获得的解析解只局限在平面内或轴线上[1，3]，而三维空间的磁场则用椭圆积分表示[4-6]。最近，文献[7]从毕奥-萨伐尔定律出发，通过一系列复杂的变量替换，找到了磁场在三维空间中分布的级数形式解。本文对求解过程中出现的积分问题，直接采用辛普森积分法，获得圆电流磁场在整个三维空间分布的新解析解。

1 圆电流磁场空间分布的解析解

设圆电流线圈置于直角坐标系xoy平面内，通过的电流为I,半径为R，如图1所示，矢径r01与x轴的夹角为θ，则

r01=Rcosθ i+Rsinθj,

①

r02=Rcos(θ+dθ)i+Rsin(θ+dθ)j

=R(cosθcosdθ-sinθsindθ)i

+R(sinθcosdθ+cosθsindθ)j

②

式中 i, j, k分别为x,y,z轴的单位矢量。因为dθ很小，则有sindθ≈dθ,cosdθ≈1，所以

③

微电流元的

dl=r02-r01图1 一级载流圆线圈激发磁场图

=R(cosθ-sinθdθ-cosθ)i+R(sinθ+cosθdθ-sinθ)j

=-Rsinθ dθ i+Rcosθ dθ,

④

在空间任选一点P(x,y,z)，到原点的距离为rp=x i+y j+z k,则它到电流元的距离为

r=rp-r01=(x-Rcosθ) i+(y-Rsinθ) j+z k。

⑤

因此

⑥

将⑥式代入毕奥—萨伐尔定律，得电流元I dl在P点激发的磁感应强度为

⑦

对(7)式两边积分，可得圆电流在空间P点激发的磁场分量表达式分别为：

,

⑧

,

⑨

。

⑩

辛普森(Simpson)积分法是定积分计算常用的方法[8,9]，对⑧-⑩式，利用辛普森积分法，可直接积分得到新的解析解。为了减少计算，可借助Maple、Mathematics或Matlab等数学软件进行计算，例如起动Maple数学软件，写入如下指令：

>restart:with(student):

>Bx=simpson(mu[0]*I*R*z*cos(theta)/(4*pi*(x^2-2*x*R*cos(theta)+R^2+y^2-2*y*R*sin(theta)+z^2)^(3/2)),theta=0..2*pi,n);

可得新的解析解

同理可得

圆电流在空间任意点的磁场为

B=Bxi+Byj+Bzk，

2 分析讨论

利用磁场的三个分量(11)-(13)式，可分析磁场在空间任意点、线、面的大小和方向。

2.1 圆电流圆心和中心轴线上的磁场

首先，为了验证(11)-(13)式的正确性，考虑圆电流圆心和中心轴线上的磁场。

将x=0,y=0,z=0,分别代入(11)-(13)式，得圆电流中心点的Bx=0，By=0,而

将x=0,y=0,代入(13)式，得圆电流中心轴线上z方向的磁场为

2.2 圆电流磁场三个分量之间的数量关系

式中B0等于式中第一个等号右边的第一项。式表明了圆电流在空间某点的磁场三个分量的数量关系。对于给定的系统，由式可知，如果某点的x、y方向的磁感应强度Bx和By数值大，则z方向的磁感应强度Bz值就小。当z=0,Bx=By=0,不出现奇点。

2.3 圆电流磁场的空间分布

对于垂直于z轴平面的Bx与By合成的场强分布，如图2、图3所示。图中符号的粗细和长短表示磁感应强度的大小，箭头表示磁场的方向，图中的圆是圆电流线圈所在位置。由图可知，靠近线圈的磁感应强度大，反之小；Bx与By合成的场强方向，在z=0.1的平面背向圆心，成辐射状；而在z=-0.1的平面指向圆心，成会聚状。

图2 z= 0.1平面, Bxi+Byj的分布

图3 z= -0.1平面, Bxi+Byj的分布

空间任意点B=Bxi+Byj+Bzk，它的分布如图4所示。从符号的大小和长短可知，靠近线圈位置的磁场大，而远离线圈位置则逐渐减小；从符号的箭头可知，在圆电流线圈所在位置，圆内磁场方向与z轴同向，圆外与z轴反向，方向的变化与教材给出的相同。

图4 磁感应强度B的空间分布

2.4 圆电流轴向磁场的匀强区变化

在电子、电工和通讯等工程领域中，常常需要使用圆电流轴向磁场的匀强磁场区。根据式，可得到圆电流轴向磁场的匀强区的大小随z的变化，其结果如图5所示。图中取x=0,给出了Bz随y的变化，由于圆电流的轴对称性，Bz随x的变化与此类似。由图可知，离线圈平面近的z=0和z=0.02平面,在y=0附近的Bz随y的变化大，匀强区小；当z=0.05时，在y=0附近的Bz随y的变化小，匀强区增大；当z=0.1，为圆电流线圈半径(R=0.2)的一半时，在y=0附近的Bz随y的变化最小，匀强区最大；当继续增大，z=0.15时，在y=0附近的Bz随y的变化增大，匀强区减小。圆电流轴向磁场的大小，是以线圈平面为对称面的，在轴向离线圈平面等距离的两处，磁感应强度大小相等，方向相反，所以当两同轴放置的等大线圈，相距为半径时，产生的匀强区范围最大。由此可定量解释亥姆霍兹线圈获得的匀强区范围最大。

图5 Bz的匀强区随z的变化

3 结论

利用辛普森积分法，借助数学软件，简便轻松地获得了圆电流磁场在整个三维空间分布的新解析解，如-式。根据解析解分析了圆电流圆心和中心轴线上的磁场，从一个方面证明了解的正确性；找到了圆电流磁场三个分量之间的数量关系，如式；根据解析解进行了数值分析，形象地描述了磁场的大小和方向在空间的分布；定量分析了圆电流轴向磁场的匀强区变化，能有力地说明亥姆霍兹线圈所获得匀强区范围最大。对于多个圆电流的组合激发的磁场分布，将另文报告。

[1] 梁灿斌.电磁学(第二版)[M].北京:高等教育出版社，2004:177—180.

[2] 曹昌琪.电动力学[M].北京:人民教育出版社, 1979: 114-116.

[3] CALLOUN R C. An elementary derivation of the midplane magnetic field inside a pair of Helmholtz coil [J]. Am J physic,1996,64:1399-1400.

[4] 刘耀康.导出圆电流的磁感应强度的简便方法[J].大学物理，2007, 26(7):32-33 .

[5] 张之翔.电磁学中几个简单问题里的椭圆积分[J].大学物理，2002, 21(4):22-24.

[6] 张星辉.圆电流磁感线的分布及感应强度的函数表达式[J].大学物理，2006，25(1)：33-34.

[7] 孟雨.载流圆线圈周围磁场分布[J]. 物理通报， 2013(11):25-28.

[8] CHAVEZ PATRICK P，JAEGER NICOLAS A F，RAHMATIAN F．Accurate voltage measurement by the quadrature method [J]．IEEE Transactions on Power Delivery，2003，18(1)：14-19．

[9] 张森文，曹开彬．计算结构动力响应的状态方程直接积分法[J]．计算力学学报，2000，17(1)：94-97.

Magnetic Field of Circular Current by Simpson Integral Method

YANG Jian-rong, CHENG Yuan-fei, MAO Run-hua, ZHOU Ting

(School of Physics and Electronic Information, Shangrao Normal University, Shangrao Jiangxi 334001, China)

Using Simpson integral method for the circular current, the new analytic solution of three-dimension magnetic field distribution is obtained by mathematical software. Then the magnetic field in the core and central axis is analyzed, the numerical relationship among three components is found, the magnitude, direction and spatial distribution is described, and the magnetic field change of uniform strong region along axial direction is discussed.

simpson integral method; circular current; magnetic field; spatial distribution

2016-05-27

江西省教改课题(JXJG-13-16-4)；江西省科技落地项目(KJLD13086)；国家自然科学基金项目(11465015，11365017)

杨建荣(1966-)，女，江西上饶人，教授，博士，主要人事物理学的教学及研究。E-mail:sryangjr@163.com

O441

A

1004-2237(2016)06-0022-06

10.3969/j.issn.1004-2237.2016.06.005