李嵩林 王景全

(招商局重庆交通科研设计院有限公司1) 重庆 400067)

FRP型材-混凝土组合梁抗弯刚度计算方法

李嵩林1)王景全2)

(招商局重庆交通科研设计院有限公司1)重庆 400067)

(东南大学混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室2)南京 210096)

FRP型材-混凝土组合梁的变形受FRP型材的特性、组合梁截面粘结滑移的直接影响，须考虑：材料各向异性和纤维铺层方式对FRP型材自身刚度的影响、材料各向异性及FRP薄壁性引起的剪切变形对组合梁刚度的影响，及界面的滑移效应和掀起效应对组合梁刚度的影响.依据经典层合板理论、铁木辛柯梁的修正理论，以及组合梁抗弯刚度折减系数法的思路，综合分析各影响因素，提出了FRP型材-混凝土组合梁抗弯刚度计算方法.

FRP型材-混凝土组合梁；纤维铺层方式；材料各向异性；界面滑移效应；抗弯刚度

0 引 言

正常使用极限状态下，FRP型材-混凝土组合梁的变形受FRP型材的特性、组合梁截面粘结滑移的直接影响，故其抗弯刚度计算不能直接采用钢梁或混凝土梁的计算方法，须考虑：(1) FRP材料的低弹性模量、材料各向异性和纤维铺层方式对FRP型材自身刚度的影响；(2) FRP薄壁性及材料各向异性引起的剪切变形对组合梁刚度的影响；(3) FRP型材与混凝土板界面的滑移效应和掀起效应对组合梁刚度的影响.

为此，文中依据经典层合板理论和铁木辛柯梁的修正理论，从FRP单层纤维特性出发，研究上述(1)、(2)2个方面的影响.对于(3)的研究，研究者针对钢-混凝土组合梁结构界面粘结滑移与掀起效应的研究已相对充分，目前有换算截面方法[1]、组合系数法[2-3]、折减系数法[4]，文中借鉴钢-混凝土组合梁的方法进行计算.综合考虑上述影响因素，形成了新的FRP型材-混凝土组合梁的刚度计算法，并与数值仿真分析结果和规范方法进行对比.

1 考虑各向异性和纤维铺层方式的FRP型材刚度计算

FRP-混凝土组合梁中FRP梁截面形式主要是工字梁或箱形梁，而这种截面形式的FRP梁可以看成由FRP板条组成.针对FRP工字梁或箱形梁的上下翼板和腹板的受力特点，设计不同的纤维铺层方式，可以更有效地发挥FRP材料的作用.由于翼板和腹板有不同的纤维铺层方式，导致各板条表现出不同的力学特性，增加了弯曲刚度计算的难度.

确定各板条的弯曲刚度[5-6]主要有2种方法：(1) 复合材料力学通过其弯矩-曲率关系式可以从根本上确定不同纤维铺层方式和不同的荷载形式下的弯曲刚度，但计算公式复杂，不便于设计；(2) 先确定各板条在统一参考坐标系下的工程等效弹性常数，然后利用传统材料力学的方法来确定弯曲刚度，文中采用此分析思路来考虑各向异性和纤维铺层方式对FRP型材刚度的影响.

1.1 考虑各向异性和纤维铺层方式的FRP型材刚度计算

根据FRP梁的受力特点，一般梁上下翼缘板受压或受拉，因此在翼缘上主要布置沿梁轴的0°铺层，另外，针对薄壁翼缘还可能出现局部失稳，因此还需要在翼缘表层布置沿梁轴的±45°铺层.在腹板上主要承受的剪切力，同时还承受弯曲引起的压缩应力或拉伸应力，因此应布置以±45°铺层为主，适当的90°铺层和0°铺层，而且铺层形式成对称性.因此文中考虑两种纤维铺层方式的板条： 0°铺层的对称层合板和 ±45°铺层的对称层合板.

树脂基复合材料单层的工程弹性常数与复合材料单层的刚度系数Qij的关系式

(1)

复合材料单层的刚度系数Qij与复合材料层合板的刚度系数Aij有关系式

0°层铺叠成的单向层合板

Aij=hQij

(2)

±45°铺层的对称层合板

对称均衡层合板的面内等效工程弹性常数的计算公式

(4)

式中:h为层合板的厚度.

1.2 基于换算截面法的FRP型材-混凝土组合梁抗弯刚度初始值

由于FRP-混凝土组合梁中混凝土板、FRP翼板和腹板的工程弹性常数各不相同，文中采用换算截面法，将混凝土板、FRP腹板换算成与FRP翼板相同的弹性常数，且为保证换算前后各板块的截面重心不变，换算时各板块厚度保持不变，而仅换算其宽度，见图1.Ec，Exf，Exw分别为混凝土板、FRP翼板和腹板的沿梁轴向的弹性模量，具体计算方法同钢-混凝土组合梁，记由换算截面方法得到的抗弯刚度初始值为ExIz.

αE1=Exf/Ec,αE2=Exf/Exw.图1 FRP-混凝土组合梁换算截面

2 界面滑移效应对组合梁抗弯刚度的折减

文中通过引入折减系数ξ1对已经考虑了纤维铺层方式的组合截面抗弯刚度ExIz进行折减，从而考虑界面滑移效应对抗弯刚度的影响.

抗弯刚度折减系数ξ1的推导过程如下.

1) 滑移效应引起的附加挠度δ1基本假定：(1)将组合梁作为弹性体来考虑；(2)FRP梁和混凝土翼板具有相同的曲率并分别符合平截面假定.

分析模型见图2～3.

图2 简支组合梁及其截面布置

图3 组合梁微段变形模拟

王言磊等[7]研究表明，带剪力键的FRP 板与混凝土界面的粘结滑移关系接近线性

τ=kvs

(5)

式中：kv为产生单位滑移量的界面剪应力大小，称之为界面剪切滑移刚度，MPa/mm；s为交界面滑移量，mm；τ为FRP梁与混凝土交界面上水平剪应力，MPa.

由交界面上的水平剪应力可得单位长度上的水平剪力ν

ν=τ b=kvbs

(6)

式中：b为组合梁截面宽度.

用FRP-混凝土组合梁界面剪切-滑移本构关系代替聂建国教授提出的一个假定条件：交界面上的水平剪力与相对滑移成正比，表达式为ν=Ks/p(K为抗剪连接件的刚度，p为抗剪连接件间距)，即用kvb替换K/p.另外，用FRP复合材料的沿X方向的弹性模量Ex替换钢材料的弹性模量Es.

在均布荷载作用下，由于滑移效应引起的跨中附加挠度简化为

(7)

则滑移效应使得FRP型材-混凝土组合梁的附加挠度δ1为

(8)

式中：I0=If+Ic/αE；dc为FRP梁截面形心到混凝土翼板形心的距离；l为组合梁跨度；h为组合梁全截面高度；q为均布荷载值；Ex为FRP复合材料沿X方向的弹性模量；Af为FRP梁的截面面积；If为FRP梁截面对自身形心轴的惯性矩；Ic为混凝土板截面对自身形心轴的惯性矩；αE为FRP复合材料沿X方向的弹性模量与混凝土的弹性模量之比，αE=Ex/Ec.

2) 折减系数ξ1以上建立了均布荷载作用下由滑移效应的附加挠度计算公式，根据叠加原理可以得到考虑滑移效应时FRP型材-混凝土组合梁挠度式为

δ=δe+δ1

(9)

式中：δe为根据经典梁理论计算得到的挠度.

经典梁理论[8]计算的跨中挠度值

(10)

式中：Iz为组合梁换算截面惯性矩.

均布荷载作用下，考虑滑移效应的简支组合梁的跨中挠度计算式为

(11)

(12)

由跨中挠度值相等可得折减系数ξ1为

(13)

3) 界面滑移效应对抗弯刚度的影响程度 由式(13)可知，M1，M2仅与梁的几何参数和材料特性有关，而影响ξ的主要变量为kv.

目前，国内外对带FRP剪力键的FRP型材-混凝土组合梁界面做了一些探索性的试验研究.如文献[7]设计了一种由短切毡手糊成型的FRP剪力键，见图4，采用FRP板-混凝土块搭接接头的单剪试验方法，考虑剪力键高度、宽度和长度、附加砂粒增强以及混凝土强度等因素，对带剪力键的FRP板与混凝土间粘结性能进行了研究.结果表明，剪力键长度、附加砂粒增强和混凝土强度等因素对FRP板与混凝土间平均粘结强度有显著影响，而剪力键高度和宽度的变化影响较小.

另外试验研究发现，当采用的剪力键的粘结长度l≤50mm时，界面的最终粘结滑移量小，且界面粘结滑移曲线(τ-s)接近线性，此时界面粘结滑移刚度kv可近似取粘结滑移曲线的斜率.表1列出了剪力键长度l≤50mm的试件试验结果以及kv值.

张普[9]带剪力键的FRP-混凝土湿粘结界面进行了双剪试验，根据试验数据回归结果，纯剪力键界面粘结滑移本构模型中参数kv=9.

文中通过有限元分析kv在取值区间2～15内对折减系数ξ的影响.

表1 王言磊等人的FRP 板-混凝土块搭接接头的单剪试验结果

试件组号试件个数混凝土等级剪力键高度/mm剪力键宽度/mm剪力键长度/mm极限荷载时相对滑移量/mm界面平均粘结强度/MPakvA⁃13C501050500．949．129．7A⁃23C501650500．858．9910．6A⁃33C502550501．069．178．7B⁃13C501030500．889．0110．2B⁃23C501080501．018．568．5C⁃13C501050300．589．0815．7E⁃13C301050500．856．517．7

为分析kv对ξ的影响，依托文献[4]的试验试件参数来确定M1，M2值.分别按式(13)理论计算和有限元模拟得到不同的界面剪切滑移刚度kv对ξ的影响曲线，比较分析折减系数计算表达式的准确性.

图4为不同的界面剪切滑移刚度kv对ξ的影响曲线的理论计算和有限元模拟结果.

图4 组合梁抗弯刚度折减系数与界面剪切滑移刚度的关系曲线

从图4可知,切滑移刚度越大，由于滑移效应引起的刚度折减越小；当剪切滑移刚度kv>10时，折减系数ξ基本在0.1以内，即界面滑移效应引起的附加挠度与经典理论计算的挠度的比值α在10%以内.

3 FRP型材剪切变形对组合梁抗弯刚度的折减

同样借折减系数法的思路，通过引入折减系数ξ2对已经考虑了纤维铺层方式的组合截面抗弯刚度ExIz进行折减，从而考虑了FRP型材剪切变形对抗弯刚度的影响.

抗弯刚度折减系数ξ2的推导过程如下.

1) 考虑剪切变形引起的附加挠度δ2罗祖道等[10]保留截面假设，放弃了变形后横截面仍垂直于轴线的假设，认为梁截面变形后发生一个转角φ，用以反映横截面剪切变形的平均值及其影响.对于静力问题，各向异性梁的铁木辛柯型弯曲微分方程组为

(14)

简支梁边界条件：

υ(x=0)=0；υ(x=l)=0；

φ′(x=0)=0；φ′(x=l)=0.

式中：k为剪切修正系数，它表示对横截面上剪切应变为常数的这一基本假定的修正，一般取值在3/2～8/9之间，通常是根据能量等价的方法确定的，也可通过与各种特定情况下的精确解进行比较来定出；Iz为换算截面惯性矩；s11为FRP复合材料沿x方向的弹性柔量，s11=1/Ex；s66为FRP复合材料在xoy平面内的剪切柔量，s66=1/Gxy；A为横截面面积；φ为梁截面变形后发生一个转角，用以反映横截面剪切变形的平均值及其影响；υ为梁的竖向挠度；q为梁承受的任意荷载.

计算长为l，两端简支的FRP-混凝土组合梁，在承受均布荷载q的作用下的挠曲线方程υ(x)，其组合梁的抗弯惯性矩Iz由换算截面法计算得到.计算模型变形简图见图5.

图5 均布荷载q作用下的变形

求解上述微分方程组，得到梁的挠曲线方程为

l3s11kA)+(12Is66Iz-12sx66Iz)]

(15)

最大挠度发生在梁的跨中位置x=l/2，最大挠度值为

式中：第一项为经典梁理论给出的梁的最大挠度值；第二项反映了剪切应变所引起的梁的附加挠度值，记为δ2，有

(17)

此处仅考虑FRP复合材料剪切应变引起的梁的附加挠度值，A取FRP梁截面面积.

2) 折减系数ξ2以上建立了均布荷载作用下由剪切变形引起的附加挠度计算公式，根据叠加原理可以得到考虑FRP型材剪切变形时FRP型材-混凝土组合梁挠度计算式为

δ=δe+δ2

(18)

式中：δe为根据经典梁理论计算得到的挠度，按式(10)计算.

均布荷载作用下，考虑FRP型材剪切变形时简支组合梁的跨中挠度计算公式

(19)

(20)

由跨中挠度值相等可得折减系数ξ2为

(21)

3) 比较各向同性梁与各向异性梁的剪切变形对抗弯刚度的影响程度 由式(21)可以看出，M3仅与梁的几何参数和材料特性有关，而影响ξ2的主要变量为Ex/Gxy.

取k=8/9，对与高度为h的矩形截面梁，有：

(22)

各向同性梁，当h/l=0.1，泊松比ν=0.3时，可以得到β=2.34%.

各向异性梁，如典型国产的树脂基复合材料HT3/QY8911(高强碳纤维/双马)的纵向弹性模量135 GPa，面内剪切模量为4.5 GPa，可得Ex/Gxy的值为30，此时β≈30%，说明各向异性的复合材料梁由于剪切变形引起的附加挠度所占的比例相当显著.

4 界面掀起效应对组合梁抗弯刚度的影响程度

在荷载作用下，FRP-混凝土组合梁的界面剪力连接件除了存在剪切变形外，也有轴向变形，此时FRP梁与混凝土板界面将出现竖向掀起现象，也会降低了组合梁截面的组合效应和刚度.

根据文献[11]可知，组合梁界面剪力键的竖向掀起刚度k直接影响着掀起效应的大小，因此通过有限元法来分析不同剪力键竖向刚度条件下，掀起效应对组合梁抗弯刚度的影响程度.

有限元分析，荷载形式为一均布荷载，模型尺寸采用6.1给定的模型尺寸.共分析12个模型，剪力键的纵向滑移刚度取4种情况，每一种情况下考虑3种不同的竖向掀起刚度值.

有限元计算得到的各模型的最大挠度值见表2.

表2 各模型的最大挠度值 mm

图6为相同的界面纵向剪切刚度下，组合梁跨中最大挠度与剪力键竖向刚度的关系曲线.

图6 组合梁跨中最大挠度与剪力键竖向刚度的关系曲线

从表2和图6可知，在相同的纵向剪切刚度下，剪力键的竖向刚度越大，组合梁跨中挠度值越小，但是挠度的变化量很小，由此认为FRP-混凝土组合梁，在均布荷载作用下，界面的掀起效应对组合梁的抗弯刚度有削弱的作用，但影响很小，可以忽略不计.

5 考虑各项折减影响的FRP型材-混凝土组合梁抗弯刚度

综合考虑上述影响因素，得到FRP-混凝土组合梁抗弯刚度的计算表达式

(23)

6 有限元模拟验证刚度计算方法

6.1 模型设计

1) 模型尺寸 组合梁跨径为3m.FRP工字梁高为200mm、宽为100mm，翼缘和腹板厚度均为10mm.混凝土板宽为100mm、厚度为100mm.

2) 材料类型选择FRP梁材料，选用5种典型国产复合材料，力学参数见表3.混凝土选用C50.

表3 5种典型国产复合材料力学性能

3) 有限元单元选择 FRP梁选用壳单元shell99进行模拟，根据表4取材性特性值.

混凝土选用SOLID65钢筋混凝土单元进行模拟.混凝土单轴应力应变关系上升段采用《混凝土结构设计规范》规定的公式，下降段则采用Hognestad的处理方法，即

当εc≤ε0时：

当ε0≤εc≤εcu时：

按照规范计算和规定可分别取n=2，ε0=0.002，εcu=0.003 3.

界面剪力键通过设置非线性弹簧单元Combin39模拟，该弹簧单元的本构关系取式(5).

4) 有限元模拟加载 采用均布荷载形式，荷载值为q=100 N/mm.

6.2 计算结果比较

1)文中提出的方法的计算结果，见表4.

表4 文中提出的方法计算结果与模拟值的比较

由表4可知:(1)相同的FRP材料(参数Ex/Gxy值相同)，随着界面滑移刚度kv的增大，组合梁的挠度值越小，说明了组合梁的刚度越大，与实际情况符合;(2)相同的界面滑移刚度kv，随着FRP材料的Ex/Gxy值越小，组合梁抗弯刚度折减系数越小，说明了组合梁的刚度越大，与实际情况符合;(3)按照文中提出的同时考虑界面滑移效应和复合材料的剪切变形影响的抗弯刚度计算方法，计算得到的组合梁在均布荷载作用下，理论最大挠度值与有限元模拟值相对误差7%，说明提出的抗弯刚度计算方法是合理的.

式中：x0为组合梁截面形心轴至梁顶面的距离；xc为组合梁混凝土翼板截面形心轴至梁截面形心轴的距离；xc0为组合梁混凝土翼板截面形心轴至梁顶面的距离；xf1，xf2为组合梁FRP构件的顶板和底板的截面形心轴至梁截面形心轴的距离；xf10，xf20为组合梁FRP构件的顶板和底板截面形心轴至梁顶面的距离.

规范理论值与模拟值比较，见表7.

表7 规范方法的计算结果与模拟值的比较

由表7可知:(1)规范理论值比换算截面法理论值都要大，这是由于规范方法忽略了FRP腹板的抗弯刚度、FRP翼板和混凝土板对自身的抗弯刚度；(2)规范理论值与模拟值的相对误差最大达到了24.57%，与文中提出的方法相比，文中提出的计算方法更为精确，规范通过忽略腹板的抗弯刚度，忽略FRP翼板和混凝土板对自身的抗弯刚度来间接地考虑各种影响因素对组合梁刚度的削弱作用，而文中提出的抗弯刚度折减系数法是直接地通过理论计算来考虑复合材料的特性、FRP-混凝土组合梁界面滑移效应和FRP复合材料的剪切变形等因素的影响.建议，用规范给定的方法可以适用于FRP-混凝土组合梁的初步设计，抗弯刚度折减系数法可用于组合梁的精细化设计.

7 结 束 语

综合考虑3方面的影响：材料各向异性和纤维铺层方式对FRP型材自身刚度的影响；材料各向异性及FRP薄壁性引起的剪切变形对组合梁刚度的影响；界面的滑移效应和掀起效应对组合梁刚度的影响.提出了FRP型材-混凝土组合梁抗弯刚度计算方法，并与有限元模拟和规范方法对算例进行了分析对比，计算结果与非线性有限元结果更为接近，可以用于FRP型材-混凝土组合梁桥的设计计算.

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The Bending Stiffness Calculation of FRP Profiles-concrete Composite Beam

LI Songlin1)WANG Jingquan2)

(ChinaMerchantsChongqingTransportResearch&DesignInstituteCo.,Ltd.,Chongqing400067,China)1)(KeyLaboratoryofConcreteandPrestressedConcreteStructuresofMinistryofEducation,SoutheastUniversity,Nanjing210096,China)2)

At the service limit states, FRP profiles-concrete composite beam deformation is directly affected by the characteristics of FRP profiles and the interfacial bond-slip, thus the bending stiffness calculation could not directly use the calculation method of steel beams or concrete beam. It needs to consider:1) material anisotropy and fiber overlay modes on the stiffness of FRP profiles, 2) material anisotropy and FRP thin-walled on stiffness of composite beam and 3) interface slip effect and off effect on stiffness of composite beam. Based on the classical lamination theory, Timoshenko beam correction theory, idea of reduction factor method, the above influencing factors are considered, and the flexural stiffness calculation method of FRP profiles-concrete composite beam is proposed.

FRP profiles-concrete composite beam; fiber overlay modes; material anisotropy; interface slip effect; bending stiffness

2016-10-07

TB332

10.3963/j.issn.2095-3844.2016.06.030

李嵩林(1987—)：男，硕士，主要研究领域为道路与桥梁工程