赵 亮 杨志勇 张亮亮

(武汉理工大学土木与建筑工程学院1) 武汉 430000) (重庆大学土木工程学院2) 重庆 404100)

圆形空心墩日照温度场Laplace变换解析计算*

赵 亮1)杨志勇1)张亮亮2)

(武汉理工大学土木与建筑工程学院1)武汉 430000) (重庆大学土木工程学院2)重庆 404100)

为研究混凝土圆形空心墩的日照温度分布及变化特征，建立了日照作用下空心墩瞬态热传导问题的数学模型.利用气象参数描述边界条件，采用Laplace变换，将时间域的问题转换成Laplace域上的问题，利用Stehfest数值反演得到时间域的解答，从而得到温度场的解析计算式.编程计算得到温度场，与实验测得结果进行对比，两者的温度变化趋势基本一致，结果吻合较好.气象参数分析表明太阳辐射、风速、日平均气温，以及日温度变化幅度是影响混凝土空心墩的温度分布的主要因素.

混凝土圆形空心墩；日照温度场；解析方法；Laplace积分变换

0 引 言

混凝土空心墩可以节省材料、减轻自重并降低对地基强度的要求，因而得到较广泛的应用.处于自然环境中的桥梁，在长时间的日照作用下，空心墩内外壁面温差较大，分布不均匀，产生的温度应力不可忽视[1-2].

关于空心墩的日照温度场和温度效应，自上世纪60年代以来，不少学者做了大量的研究.蒋国富等[3-5]分别基于现场实测资料，推导了适合桥梁所在地区的混凝土薄壁空心墩沿壁厚方向的温度梯度模式.胡安庆等[6-7]根据实际工程的实测资料编制了温度场及应力场计算程序，为设计提供了一定的方便和参考.

以上分析对桥墩日照温度效应的研究具有极大的帮助，但温度效应问题具有明显地域性，进行现场时时观测的难度大；对大量实测数据的处理、以及从计算程序的编制到建模分析都需要花费大量的时间和精力；且这些大多针对某一具体工程的箱型、双肢型薄壁空心墩等，对圆形空心墩研究相对较少.因此，文中试图根据热传导原理，利用气象参数[8-9]建立日照作用下圆形空心墩瞬态热传导模型，利用Laplace变换及Stehfest数值反演，得到适用于不同桥址地区的混凝土圆形空心桥墩温度场解析计算方法.同时制作了模型实验，通过实测温度数据验证解析计算结果的有效性和精确性，并对影响空心墩温度场变化规律的因素进行分析，为设计和施工提供依据和方便.

1 混凝土空心墩温度场数学模型的建立

1.1 热传导方程

大型混凝土空心墩的日照温度场分布属于复杂的三维瞬态热传导问题，但可近似地认为沿着高度方向温度呈均匀分布，热传导基本沿着径向进行，因此混凝土空心墩的温度场可简化为二维分布、一维热传导问题.于是将方位角为θ的空心墩壁面的温度分布用T(r,t)表示，计算模型几何尺寸见图1.

图1 计算模型

采用极坐标建立热传导控制方程

(1)

式中：T=T(r,t)为方位角θ的截面上径向r处t时刻的温度，℃；r2，r1分别为内外半径，m；t为时间，s；a=λ/ρc为导温系数，m2/s，其中λ为导热系数，W/(m·K)；ρ为密度，kg/m3；c为比热容，J/(kg·K).

1.2 初始条件

日照作用下，假定在初始时刻，混凝土空心墩各点具有相同的初始温度.其初始条件为

T(r,0)=T0

(2)

式中：T0为空心墩的初始温度，℃.

1.3 边界条件

桥梁结构表面的日照温度场问题的传热边界条件复杂且为非线性，若直接采用解析方法求解导热微分方程是非常困难的，必须进行简化处理.

不少研究发现太阳辐射过程曲线可利用半正(余)弦波模型模拟为日出到日落期间的半个正(余)弦波.由于气象台一般提供水平面上的太阳辐射资料，因此需将水平面上太阳日辐射总量H进行直散分离[10]然后再转化为竖直面上的太阳辐射量HV[11].在此将筒壁方位角为θ壁面的t时刻太阳辐射强度qV(t)分解为太阳直接辐射qbV(t)和散射及地表反射qdV(t)2部分之和，即

qV(t)=qbV(t)+qdV(t)

(3)

(4)

式中:tk=tsk-trk；ck=0.5(tsk+trk)

其中：下角标k=b时表示与太阳直接辐射相关的参数，k=d时表示与太阳反射和散射相关的参数.tb和td分别为竖直壁面上的日照时间和水平壁面上的日照时间；trb，tsb分别为竖直壁面的日出日没时间，trd，tsd分别为水平壁面上的起止时刻，计算见文献[9-11].

图2给出了按式(3)采用半余弦波模拟竖直面上的太阳辐射的实例，并与理论曲线和按参考文献[9]采用半正弦波曲线进行对比，从图2可见，式(3)模拟结果比较理想，简化了竖直面上任意时刻太阳辐射分布计算表达式，运用更加方便.

图2 竖直面上太阳辐射日过程的曲线模拟(日序数181，纬度30.5°，方位角-45°，水平面日辐射总量29.3 MJ/m2)

空心墩外壁与外界的热交换主要有太阳辐射、对流换热、辐射换热.而空心墩内壁，只考对流和辐射换热，因此空心墩边界条件为

(5)

为了便于求解计算，将上式展开为傅里叶形式，并写成复数形式，即

(6)

具体参数如下.

式中：

2 热传导方程的求解

2.1 求解

在热传导问题中，运用Laplace变换可以消去微分方程中的时间偏导，从而简化计算.对热传导微分方程(1)进行Laplace变换后得

(7)

其通解形式为

式中：J0(·)和Y0(·)分别为第一类、第二类贝塞尔函数；m1，m2为待求系数，由边界条件确定；s是一个复参量，s=β+iω且ω≥0.

对边界条件式(6)进行Laplace变化，转化为s域的象函数方程

(9)

将通解式(8)带入边界条件(9)中，整理求解可得

(9)

式中：

2.2 Laplace逆变换的数值计算

由于将得到的频域解进行逆变换到时间域上的计算复杂且难以实现，因此对Laplace变换采用Stehfest算法[12]进行数值反演，该算法的计算式为

(11)

(12)

式中：t为自变量；N，k，i均为正整数；k=int(0.5i+0.5)；υi为中间函数.

理论上，式(12)中N取值越大，计算精度越高.通过试算，本例中N=30时，效果较好，误差可控制在10-4～10-6之间.

3 实 验

3.1 模型参数

混凝土圆形空心墩实验模型的外径为3 m，壁厚为0.3 m，采用数字温度传感器测量空心墩内外壁温度.实验模型及测点布置见图3～4.计算时间为2013年8月28日，当日气温变化28～41 ℃，风速3 m/s.地理纬度30.62°，混凝土吸收率As=0.55.地表短波反射率re=0.2，大气长波辐射率为εa=0.82，混凝土发射率为ε0=0.9.空心墩外壁向阳面h1=13.58 W/(m2·K)，阴影面h1=11.59 W/(m2·K)；内壁h2=8.3 W/(m2·K).混凝土的热物性参数见表1.

图3 试验模型图

图4 测点布置

ρ/(kg·m-3)c/[J·(kg·K)-1]λ/[W·(m·K)-1]24001．73980

3.2 温度场分析

将当地的气象资料作为输入参数，利用数学软件Maple对Laplace逆变换进行反演，得到空心墩各点01:00—24:00的温度变化计算值，根据实测值与计算值绘制出同一时刻不同方位截面各测点的温度变化曲线,见图5.

图5 计算与实测各测点温度变化图

由图5中可见：

1) 各点的实测温度变化幅度具有明显的区别，内壁测点升温(8 ℃左右)较外壁测点(17 ℃左右)小.受太阳直接辐射强度影响，温度升幅最大的为测点W1，在17:00后升温达到最大值46.5 ℃.测点E2在11:00后受太阳辐射最强，达到最大值42.5 ℃.测点N1受到太阳辐射最弱，1 d中的温度变化幅度最小.同一时刻，不同截面的内外温差以及空心墩外壁不同测点的温差均可达到10 ℃.

2) 由于计算中假定初始温度为均一值，因此日出前，各点计算温度值基本相同，而实测稍有区别.日出后07:00—10:00间，外壁测点W1，S1，E1，N1的计算值较实测值偏大5%～10%，但各点峰值出现的时刻吻合较好.这是由于采用余弦波模拟太阳辐射强度时，日出后的计算强度值较实际太阳辐射强度大.在15:00—18:00之间，外壁各测点计算值较实测值偏低，这是因为采用余弦波模拟太阳辐射过程中，近似认为各方位角壁面接受的太阳直接辐射在该壁面的cb时刻对称分布，散射辐射相对于12:00对称分布.而太阳辐射每日不同时刻实际分布规律不可能如此理想化，尤其夏季，15:00—18:00太阳辐射相对较强，由太阳辐射引起的表面温度较高，导致此时的计算温度比实际温度偏小.

3) 实测温度变化与计算温度变化趋势相似，吻合较好，说明推导的解析计算公式可以用于计算大型混凝土圆形空心墩日照作用下的温度场.

4 气象参数对空心墩温度场的影响

4.1 太阳辐射

以水平面上太阳日辐射总量H为参数，得到了空心墩在不同太阳日辐射总量下，外壁发生最高温度时刻，桥墩外壁温度分布(见图6)以及1 d中内外壁温差最大值，见图7.由此可见，太阳辐射量越大，外壁最高温度值越大，最高温度增长速度越快.内外壁温差受太阳辐射影响明显，辐射量越大，内外壁温差最大值越大.

图6 不同日辐射总量下的外壁最大温度时刻温度分布

图7 日辐射总量对最大内外温差的影响

4.2 风速

风速大小直接影响空心墩外壁与周围环境的对流换热，因此取风速从0～25 m/s之间的6个数值进行对比分析，得到不同风速作用下外壁发生最高温时刻，桥墩外壁的温度分布(见图8)以及内外壁温差最大值，见图9.随着风速的增加，由于对流换热加快，桥墩表面散热加强，温度降低，当风速为0时，桥墩外壁最高温度达47.8 ℃，内外壁温差达到最大值10.7 ℃.

图8 不同风速下的外壁最大温度时刻温度分布

图9 风速对最大内外温差的影响

4.3 大气温度

混凝土空心墩温度分布受到外界日气温均值和变化幅值的影响.空心墩内部空气温度在1 d内变化小，变化幅度仅为2～3 ℃，日平均温度一般比墩外日平均温度高3～5 ℃.因此分别取空心墩外大气日气温均值和日幅值为参数，得到空心墩内外温差最大值见图10.日气温均值和日幅值均对空心墩内外壁温差影响显著，日均值越小影响程度越显著；日幅值越大，内外壁温差最大值越大.

图10 日气温均值及幅值对最大内外温差的影响

5 结 论

1) 建立了日照作用下混凝土圆形空心墩的热传导方程，采用Laplace变换及逆变换的方法，得到了适用于不同桥址地区的温度场解析计算方法，对比试验结果与计算结果，吻合较好.该方法计算简单，避免了复杂的建模等，可为后期的温度效应分析提供一定依据和方法.

2) 通过对水平面上的太阳日辐射总量进行直散分离，并转换为竖直面上的太阳直接辐射和散射与地表反射之和，从而得到的半余弦波曲线，简化了竖直面上太阳辐射强度函数形式，能更方便较好地模拟太阳辐射.为了便于解析计算，进行了一定的简化，因而计算值与实测值有一定的偏差.

3) 算例分析表明同一时刻，温度沿着混凝土空心墩周向和壁厚方向呈现出明显的非线性，外壁周向温差可达到10 ℃左右，同时空心墩内外壁温差最大也可达10 ℃.不同时刻，同一截面由于接受太阳辐射量不同，温度变化较大.

4) 利用该温度场解析计算方法可以方便地进行参数分析.气象参数对比分析发现水平面日辐射总量、风速、日气温均值和变化幅度对混凝土空心墩温度场分布有明显影响.

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Analytical Calculation on Sunshine Temperature Field of Cylindrical Hollow Pier by Laplace Integral Transform

ZHAO Liang1)YANG Zhiyong1)ZHANG Liangliang2)

(SchoolofCivilEngineeringandArchitecture,WuhanUniversityofTechnology,Wuhan430000,China)1)(SchoolofCivilEngineering,ChongqingUniversity,Chongqing404100,China)2)

A mathematical model of transient heat conduction for cylindrical concrete hollow pier is developed to investigate the temperature distribution of large cylindrical concrete hollow pier subjected to the solar radiation. As a first step, the meteorological parameters are used to describe the boundary conditions. Furthermore, the Laplace transform method is adopted to develop the analytical method for the temperature field of the hollow pier. Consequently, the calculation is transformed from time domain to Laplace domain. Then, the solution in Laplace domain is inversely transformed to time domain by Stehfest inversion. In order to comply with the calculation of the temperature field, a mathematical software Maple is adopted to implement the analytical method. Furthermore, the temperature field obtained with the analytical tool is verified with the measured data. Finally, the meteorological parameter analysis shows the solar radiation, wind speeds as well as air temperatures are the main factors effecting the temperature distribution in the cylindrical concrete hollow pier.

cylindrical concrete hollow pier; sunshine temperature field; analytical method; Laplace integral transform

2016-11-01

*重庆市建委项目资助(2014-4-3)

U443.22

10.3963/j.issn.2095-3844.2016.06.013

赵亮(1983—)：女，博士生，主要研究领域外结构温度效应