杨先山,李克娥,李治 (长江大学信息与数学学院, 湖北 荆州 434023)



Vandermonde行列式的一个新证法

杨先山,李克娥,李治 (长江大学信息与数学学院, 湖北 荆州 434023)

利用Vandermonde矩阵的独特结构，将n阶Vandermonde矩阵逐次拆分成n-1个主对角元为1的下三角矩阵与n-1个上三角矩阵的乘积，从而Vandermonde行列式的值等于这n-1个上三角矩阵的行列式的乘积，得到一个新的证明Vandermonde行列式的方法。该证明方法利用了分块矩阵的记号，证明过程简洁，推导过程也容易理解。

Vandermonde行列式；上三角矩阵；下三角矩阵；分块矩阵

n阶Vandermonde行列式：

(1)

Vandermonde行列式是高等代数中的一个典型的行列式，构造独特优美，在数值计算、数值逼近等自然科学及工程技术领域的许多理论和实际问题上有着广泛的应用。文献[1～3]分别使用数学归纳法、递推法对式(1)进行了证明，文献[4]利用Vandermonde行列式的结构特征和行列式的定义，直接观察，得到了结论。这些方法的证明过程比较繁琐，不容易理解。考虑到式(1)的右端是一系列因子的乘积，如果构造出一系列行列式，其乘积等于原Vandermonde行列式，则式(1)的证明过程将简洁明了。下面，笔者给出了Vandermonde行列式的一种新的证明方法。

引理1[1]若A，B为同阶方阵，则|AB|=|A|·|B|。

推论1若A1,A2,…,Ak都为n阶方阵，则|A1A2…Ak|=|A1| ·|A2|…|Ak|。

由此可见，如果能将一个方阵表示成一系列方阵的乘积，而这一系列方阵的行列式都容易算出，则求该方阵的行列式可转化为求这一系列方阵的行列式的乘积。

为了方便表述，引入如下记号：

显然，|Lk(xs)| =1(k=2,3,…,n)。

为k阶上三角矩阵，其第1行元素全为1，主对角元(i,i)=xn-k+i-xn-k+1(i=2,3,…,k)，其余元素全为0。……