田宇泽 (合肥工业大学信息工程系，安徽 合肥 230009)霍秋娟 (中国石油集团东方地球物理公司物探技术研究中心，河北 涿州 072751)易国华 (长江大学期刊社，湖北 荆州 434023)



时域有限长信号的频谱分析与信号还原

田宇泽 (合肥工业大学信息工程系，安徽 合肥 230009)霍秋娟 (中国石油集团东方地球物理公司物探技术研究中心，河北 涿州 072751)易国华 (长江大学期刊社，湖北 荆州 434023)

用数字的方法对时域有限长信号进行频谱分析就是对该信号的频谱在频率域进行采样，而采样点数的多少对频谱分析的准确性将会产生一定的影响。同时，利用频谱能否正确还原时间信号的必要条件是必须满足频率采样定理。频谱恢复时域信号是将序列的频谱进行IDFT变换(离散傅里叶逆变换)的过程，在实际的工程应用中，进行频谱分析的原始信号在时间域是无限长且连续的，而不是有限长且离散的，因此利用数字的方法进行频谱分析一定会引起诸如频谱泄露等误差而影响最终的频谱分析结果。从频域采样定理出发，分析了基于离散傅氏变换进行有限长信号时域恢复时可能产生失真的原因，指出了提高频谱恢复原始信号的保真度的方法。理论分析和仿真结果表明，正确的选择采样频率、谱分析的点数和频率域的采样点数是关键。

有限长;DFT(离散傅里叶逆变换);频谱分析；信号还原

工程应用中的信号一般为无限长连续信号，为便于在计算机中进行分析研究，需要将其截断成有限长信号[1,2]。另一方面，计算机只能处理离散信号，需要对连续信号进行离散化，此时应当满足时域采样定理的[3]条件。时域采样定理为连续时间信号与离散时间信号架起了一座桥梁，并为连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了依据。对有限长序列进行离散傅里叶变换DFT[4,5]，得到其离散的谱线，在满足频域采样定理的条件下能够由这些谱线恢复出时域有限长信号。对于有限长信号而言，在同时满足时域和频域采样定理的情况下，是否一定能够得到正确的频谱并恢复出原始时域信号呢？为提高有限长信号频谱分析和频谱恢复原始信号的准确性，笔者从理论上研究了时域采样点数和频域采样点数之间的深层次联系，指出了有限长信号获得正确的频谱及准确恢复原始信号的具体条件。

1 连续信号谱分析的基本原理

利用数字的方法对连续信号x(t)进行谱分析时，信号在时间域和频率域都是数字信号。对连续信号x(t)进行等间隔采样能够得到时间域的数字信号x(n):

x(n)=x(t)|t=nT

(1)

其中，n=0,1,2,…,m-1;M表示信号的采样点数;T是采样间隔，s;n表示第几个采样点。

对x(n)进行傅里叶变换能够得到信号的频谱X(ejω) ：

(2)

式中，ω是数字频率。

显然，X(ejω) 是周期为2π的连续函数。

进一步对X(ejω) 进行离散化，得到频域的数字信号X(k)：

(3)

式中，N表示频域采样的点数；k表示频域采样点序号。

在进行连续信号的频谱分析时，以X(k)来表示待分析连续信号x(t)的频谱X(ejω) 。对X(k)进行离散傅里叶逆变换IDFT得到xN(n)：

(4)

式中，RN(n)是长度为N的矩形序列。

xN(n)即N点IDFT[X(k)]得到的序列，也就是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后的主值序列。因此，xN(n)能够与x(n)保持一致而在时域不发生混叠，则需要频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M(即N≥M)，即满足频域采样定理。此时xN(n)就是原序列x(n)。如果N>M，则xN(n)比原序列x(n)尾部多N-M个零点，反之，时域发生混叠，xN(n)与x(n)不等。

2 由频谱恢复原始信号的参数选择

通过前述分析，对于给定有限长信号提高频谱分析和频谱恢复原始信号准确性的前提是分析参数的准确选取。设输入有限长信号x(t)，以采样间隔T进行采样，分析参数涉及到时域采样点数、时域信号记录长度、频域采样点数等。

2.1 时域采样点数的选择

首先根据要求确定采样频率，采样频率要满足奈奎斯特采样定理：采样频率fs≥2fmax，fmax为所要分辨的最高谐波频率。并调整时域采样点数L来观察不同的情形。

2.2 信号的记录时间

当信号的采样间隔确定时，信号的记录时间将随时域采样点数的不同而不同。

2.3 频域采样点数的选择

频率采样点数N的选取首要条件是满足频域采样定理N≥M。当N与M之间存在整数倍的关系时能够观察得到正确的频谱，其频谱能够恢复出原始信号。当N与M相等时得到的频谱不是正确信号的真实频谱，但是依然可以通过内插公式由其频谱恢复出原始信号。

3 试验分析

图1 矩形序列RN(n)及其频谱和还原信号

假设x(t)经过采样后是矩形序列RN(n)，长度M=4，如图1(a)所示。当频域采样点数N满足N=M时，对RN(n)作N=4的DFT和IDFT变换，结果分别如图1(b)和图1(c)所示。

从图1(b)的频谱图可以发现，该条件下的频谱只有X(0)=1，而其他值均为零，这与矩形序列的真实频谱之前存在明显的差异，可以认为矩形序列离散频谱无法体现其连续频谱的特点；分析图1(c)的结果，还原信号与图1(a)完全相同。因此在满足时域采样定理和频域采样定理的前提条件下，取N=M时，得不到期望的矩形序列频谱，但是由此频谱利用内插公式能够正确恢复时间域矩形序列。可见由频谱恢复正确的原始序列仅仅需要满足频域采样定理就可以了。

当N>M时，继续对RN(n)进行频谱分析以及信号的还原分析。此时信号时间域长度M选取4，作N点离散傅里叶变换，频域采样点数N分别取12和14，并进行离散傅里叶反变换求取还原信号。

在满足时域采样定理和频域采样定理的前提条件下，取N>M时，得到矩形序列RN(n)的振幅谱和还原信号分别如图2、图3中的(a)和(b)所示，其中图2的频域采样点数N=12(N=3M)，图3的频域采样点数N=14。因为满足频域采样定理，因此频率采样点数为12和14时都正确恢复了原始信号，如图2(b)和图3(b)所示。

图2 N=12时矩形序列振幅谱及还原信号

图3 N=14时矩形序列振幅谱及还原信号

分析图2(a)和图3(a)所示的振幅谱，可以认为，图2(a)能够正确反映振幅谱最大值最小值的分布，能够反映频谱的变化走势，而图3(a)中无法反映信号振幅谱的过零点及最小值的位置，不能精确反映频谱的变化趋势。对比分析频谱差异以及频率采样点数与信号在时间域长度的关系，认为当N为M的整数倍时，得到的频谱更加的准确。

4 结语

针对有限长信号频谱分析和信号复原中参数选取问题开展研究，重点分析了有限长信号频谱分析产生失真的原因并提出提高频谱复原信号保真度的方法。理论分析和仿真试验结果表明，正确选取采样频率、谱分析及频率域采样点数可正确恢复原信号及其频谱。有限长信号在频谱分析和频谱恢复原始信号的过程中，要想能够得到正确的频谱且能够由该频谱恢复出原始信号，除了需要满足频域采样定理N≥L之外，还要满足N为L的整数倍。

[1]胡广书.数字信号处理(理论、算法与实现)[M].北京:清华大学出版社，2003:115～117.

[2]李永全，杨顺辽，孙祥娥.数字信号处理[M].武汉:华中科技大学出版社，2011:16～18.

[3] 赵霞，李蓉艳.采样定理与确定系统采样周期的教学方法研究[J].工业和信息化教育，2014 (5):24～29.

[4]马令坤，吴波.基于DFT的周期信号谐波特性测试与仿真研究[J].计算机仿真，2015，32(11):207～211.

[5] 谢海霞，孙志雄.连续非周期信号频谱分析及Matlab实现[J].现代电子技术，2013，36(11):53～56.

[编辑] 洪云飞

2016-09-28

易国华(1965-)，男，硕士，副教授，现主要从事信号处理、科技期刊编辑方面的研究工作；E-mail:229500441@qq.com。

TN911.6

A

1673-1409(2016)34-0033-03

[引著格式]田宇泽，霍秋娟，易国华.时域有限长信号的频谱分析与信号还原[J].长江大学学报(自科版)，2016,13(34)：33～35.