毛克宁 林芳 王炜 魏嫚

摘要：本文从两个方面论述了套利组合最大收益问题的求解。一是对于一些简单情形直接用线性代数方法求解，分析和给出了这些情形下的某些结论。二是对于一般情形通过建立线性规划模型求解，并使得运算简化。

关键词：套利组合 最大收益 分析 求解

一、套利组合最大收益简单情形的求解

（一）概念与例的分析

分别用[xj]、[βji]和[E（rj）]表示按市值计算的投资者对证券[j]持有量的改变量、证券[j]的收益率对因素[i]的敏感度和证券[j]的期望收益率。套利组合满足以下三个条件：

[j=1nxj=0]，（2）[j=1nβjixj=0 （ i=1， 2， …， s）]，单因素模型为[j=1nβjxj=0]，[j=1nxjE（rj）>0]。

例1 假定某投资者的股票组合如下表所示

该问题的套利组合表示为

解前两个方程组成的齐次线性方程组，对其系数矩阵施行初等行变换

[1110.81.21.6→11100.40.8→111012→10-1012]

得到其在[R3]内的全部解：[k[1，-2，1]]，即[x1=k]， [x2=-2k]， [x3=k]这里[k∈R]，[R]为实数集。将上述解的一般形式带入套利组合中的第三式，得出（与下面例2的解法相似）[x1=15]， [x2=-30]， [x3=15]。这表明，应再买进15万元的A股票和15万元的B股票，卖出30万元的B股票。

从该例看出，对于单因素套利模型，并非期望收益率最高的股票买进增量越大越好。在该例中，为获得套利组合的最大收益，并非将A股票和B股票全部卖掉后全部买进期望收益率最高的C股票。事实上，若将A股票和B股票全部卖掉而全部买进C股票，则有[x1=-30]， [x2=-30]， [x3=60]。这不满足中的第二个方程，说明这样不符合套利组合不承担因素风险的要求。那么，对于单因素套利模型，为使得套利组合的收益最大，是否一定要将期望收益率最低的股票全部卖掉呢？……