杨雪萍，杨洪耕，马晓阳，曾巧燕

（四川大学电气信息学院，成都 610065）

基于核独立分量分析的谐波责任划分

杨雪萍，杨洪耕，马晓阳，曾巧燕

（四川大学电气信息学院，成都 610065）

为了更加准确地划分公共连接点的谐波责任，提出了一种基于核独立分量分析划分谐波责任的方法。首先采用核主分量分析算法对观测值进行白化和去均值处理，观测值的非高斯性增强；然后利用独立分量分析算法对处理后的观测值进行盲源分离，得到谐波电流和谐波阻抗估计值；最后根据谐波责任计算公式求得各谐波源对关注母线的谐波责任。在IEEE14节点配电系统上进行仿真测试，结果表明，本文方法与仅用独立分量分析方法相比，本文所提方法估计结果更准确。

谐波责任；核独立分量分析；非干预式；盲源分离

随着各种非线性负荷和电力电子设备的应用增加，谐波污染引起了广泛的关注。非线性负荷注入电力系统的谐波电流，不仅会增加功率损耗，还可能损坏系统设备[1]。谐波电流经过网络的谐波阻抗流动，会增加公共连接点PCC（point of common coupling）的谐波电压。为了有效控制谐波污染，提高谐波管理水平，需要正确评估PCC用户和系统的谐波责任[2-3]。

划分谐波责任的关键在于准确估计系统谐波阻抗和背景谐波电压，目前电力系统中主要采用“非干预式”的方法[4-8]对系统谐波阻抗进行估算，根据求得的系统谐波阻抗值，定量计算各谐波源的谐波电压贡献量。文献[4]提出的波动量法是根据PCC谐波电压与谐波电流之间波动量比值的实部符号判断系统阻抗和用户阻抗，不足之处在于当负荷波动较小时，估计误差较大，同时要求测量的谐波电压、谐波电流具有较高的精度。文献[5-7]提出的各种改进的线性回归法，在背景谐波电压波动较小时，具有较高精度，但是当背景谐波电压波动较大时，回归模型中的未知参数不再保持不变，估计误差较大。文献[8]根据独立统计特性，分离出谐波电流中的快速变化量，进而提取谐波自阻抗和互阻抗，计算谐波贡献，为计算谐波责任提供了新思路。

独立分量分析ICA（independent component analysis）最早用于信号处理，该方法是一种高效的盲源分离技术，近年来广泛用于电力系统中[9-13]。文献[9]采用FastICA算法对包含瞬时电能质量扰动信号的电网电压信号进行计算，可分离出与扰动相对应的信号。文献[10]建立ICA模型，估计电力系统谐波电流。文献[11]采用复值ICA算法，推导出谐波电流相量比例系数，进行谐波电流状态估计。文献[12]利用ICA算法得到谐波电流的估计值，然后在归一化的混合矩阵和归一化的象征阻抗矩阵之间寻找匹配列，从而定位谐波源。文献[13]将ICA算法用于谐波责任分离。

ICA算法的基本目标是寻找一个线性变换，达到变换后的各分量之间尽可能相对独立的目的。因为ICA算法本身具有的线性特性，不能分离出被非线性混合的数据源，同时基于ICA算法的线性投影不能完成数据中非线性特征的提取。所以针对谐波源信号被非线性混合的情况，本文提出了核独立分量分析算法[14-15]KICA（kernel independent component analysis）进行谐波源估计，进而划分谐波责任。首先，核主元分析通过非线性函数将原始数据映射到一个高维的特征空间；然后进行主成分分析PCA（principal component analysis），使映射到特征空间的数据具有非高斯性；最后采用ICA算法进行独立分量的盲源分离。在IEEE14节点系统中，采用KICA算法估计谐波电流和谐波阻抗，求得各谐波源对关注母线的谐波责任，与仅用ICA方法的仿真结果相比，误差减小。

1 KICA算法

1.1 特征空间的ICA模型

给定一个原始空间Rn的随机向量x，可能被非线性混合，通过非线性函数映射到特征空间D中，如式（1）所示。

通过式（1）可以将原始空间的观测信号转换为特征空间中具有更高维数的向量。

假设在特征空间得到的非线性映射后的数据满足线性可分离，然后在特征空间D中找到线性混矩阵Wφ，从φ（x）中恢复各个独立分量，即

采用ICA模型进行盲源分离，首先需要对数据进行预处理（白化和去均值）。通常采用主成分分析白化数据，使转换后的数据满足E{yyT}=I。在特征空间采用PCA，相当于对原始观测数据执行核主成分分析KPCA（kernel principal component analysis）。基于这种思想，建立了KICA算法，详细计算过程如下。

1.1.1 利用KPCA对映射到特征空间中的向量进行白化处理

假设原始空间中存在观测序列x1，x2，…，xM，则在D中满足，特征空间D中的协方差算子为

假设Q=[φ（x1），φ（x2），…，φ（xM）]，则构造Gram矩阵R=QTQ，其为M阶矩阵，由给定的核函数确定，如式（4）所示。

若采用高斯核函数，则

式中：λj（j=1，2，…，m）为R的m个最大的正特征值，满足λ1≥λ2≥…≥λm；γj（j=1，2，…，m）为λj对应的正交特征向量。

令B=（β1，β2，…，βm），计算下式

式中Λ=diag（λ1，λ2，…，λm）。

令

式中：P为白化矩阵；V=（γ1，γ2，…，γm）。

则

式中I为单位矩阵。

最后，白化处理映射到特征空间的数据如式（10）所示。

1.1.2 在特征空间对数据去均值

首先使CM为M阶矩阵，以及C1为M×1矩阵。然后分别对R和Rx去均值，如式（11）和式（12）所示。

最后将式（10）中的Rx变换为，计算与R'x的 m个最大特征值（满足λ1≥λ2≥…≥λm）相应的正交特征向量γ1，γ2，…，γm，则白化变换为

1.2 ICA算法

假设有N个未知的源信号和M个观测信号，则ICA的线性混合模型为

式中：X=[x1（ti），…，xN（ti）]T为M个观测信号构成的列向量；S=[s1（ti），…，sN（ti）]T为N个未知的源信号构成的列向量；A是M×N维混合矩阵；ti是采样时间，i=1，2，…，T；ε是均值为0的M维高斯噪声向量。

通过KPCA对数据白化和均值处理后，采用ICA算法找到分离矩阵W（即混合矩阵A的逆），得到尽可能逼近源信号真实值的估计值，即

分离矩阵W必须是正交矩阵，应满足如下关系：

综上所述，KICA算法的基本计算步骤如下：

（1）对获得的原始观测数据白化并去均值；

（2）选定m个估计的分量，进行k次迭代；

（3）随机选择最初的权向量Wk；

（6）如果Wk不收敛，返回步骤（4）；

（7）令k=k+1，如果k≤m，则返回步骤（3）。

2 谐波责任划分

2.1 谐波贡献指标的建立

假设电力系统中包含多个谐波源负荷，关注母线处的谐波阻抗矩阵为

式中：h表示谐波次数；Uh表示母线电压向量；Ih表示母线注入电流向量；Zh表示h次谐波对应的系统阻抗矩阵。以下分析中省略了变量下角标中的h。

式（17）的第i行对应于关注母线i，计算其h次谐波电压，可表示为所有谐波源负荷在母线i产生的谐波电压矢量和，即

式中：Zij表示节点i与节点j（i、j=1，2，…，N）之间的谐波阻抗（当i≠j时，为互阻抗；当i=j时，为自阻抗）；Uij表示第j个谐波源负荷在关注母线i处产生的谐波电压。

谐波贡献定义为以Ui的相角作为参考相角，各谐波源负荷在母线i处产生的谐波电压在Ui上的投影长度占Ui模长的百分比，如图1所示。

图1 相量关系Fig.1 Relationship of phasors

定义谐波源负荷j对关注母线i的h次谐波电压责任为

式中：α为Uij与Ui之间的相位角；μh为谐波贡献指标。该指标为正时表示谐波源对母线i的h次谐波电压起助增作用，指标为负则起抑制作用。

由式（19）可知，要计算谐波贡献指标的前提是得到Uij、Ui，以及两者之间的相角。通过估计谐波源负荷与关注母线之间的谐波阻抗，利用余弦定理，将谐波贡献指标变换为

式中Uoi表示除第j个谐波源负荷之外的其他谐波源负荷在关注母线i处产生的谐波电压。

2.2 KICA算法计算谐波贡献指标步骤

（1）从关注母线处获得谐波电流、谐波电压的原始数据，应用KPCA对原始数据进行白化和去均值处理。

（2）利用平滑滤波器获得白化和去均值处理后的数据的快速变化量。对混合信号进行KICA算法，源信号的独立性和非高斯性十分重要。谐波电流的波动特性除了与非线性设备本身有关，还受气候、季节和一天中不同时段的影响，所以各个独立的负荷发射的谐波电流之间具有相关性，不满足ICA算法的使用条件。但是电力负荷一般包含快速变化量和缓慢变化量两种[16]，快速变化量之间没有必然的相关性，是相互独立的。所以观测数据经过KPCA白化处理后，非高斯特性增强，再利用平滑滤波器可提取各谐波电流的快速变化量。平滑滤波器不改变谐波电压U和谐波电流I间的线性关系，即

式中：上标fast表示快速变化量；上标slow表示缓慢变化量；阻抗矩阵Z保持不变。

（3）ICA算法进行盲源分离，得到谐波电流快速变化量的估计值和矩阵A，然后计算谐波责任。以谐波电流为状态量，节点的谐波电压Un和谐波电流In为量测值，根据式（17）建立ICA模型为

式中e（t）为t时刻的误差向量。平滑滤波后的谐波电压、谐波电流满足ICA算法的使用条件，可对谐波电压快速变化量使用KICA算法，得到谐波电流快速变化量，由式（22）得到缓慢变化量，相加求得谐波电流的实际估计值采用KICA算法得到混合矩阵A，即式（17）中的谐波阻抗Zh的估计值，则谐波贡献指标为

综上所述，基于KICA的谐波责任计算流程如图2所示。

图2 谐波责任计算流程Fig.2 Flow chart of harmonic responsibility estimation

3 算例计算

以图3所示的IEEE14节点标准测试系统为例，在MATLAB软件中，对本文提出的方法进行验证。为了符合实际电力系统，仿真时在母线5、10、14处接入谐波源负荷，模拟实际系统中谐波源之间具有较远的地理距离和电气距离[8]。注入系统的谐波源负荷Hc1，Hc2，Hc3的7次谐波电流曲线采用文献[18]提出的典型曲线，1 min给定一个采样点，1天共有1 440个采样点，对应谐波电流的缓慢变化量。为了表示谐波源负荷的快速变化量，在各典型曲线上分别加入拉普拉斯分布的随机变量，其满足均值为0，方差为0.002。把这种添加快速变化量的谐波电流作为注入的谐波电流。

选取母线7、9、14作为关注母线，然后利用KICA算法分别计算3个谐波源在关注母线的谐波贡献。

图3 IEEE14节点系统Fig.3 IEEE 14-node bus system

估计电流和实际电流的曲线如图4所示，由图4可以看出估计电流的实部和虚部准确地反映了实际电流的实部和虚部。

为了量化估计结果的精度，将谐波源负荷的实际电流Ij和估计电流进行比较求误差。当所求误差值越小则表示估计结果越准确。因此构造估计误差ej，作为误差评价指标，如下所示：

表1包括了各谐波源母线7次谐波电流估计误差。ej越小则代表估计的谐波源曲线与实际的谐波源曲线越相近。若误差ej≤5%，则可利用混合矩阵A对谐波源负荷进行谐波贡献计算。

表1 各谐波源母线实际电流和估计电流之间的误差Tab.1 Errors between actual current and estimated current on the harmonic source buses

由表1可以得到，各谐波源的估计误差较小，且实部和虚部的误差大小最大为3.27%和3.32%。与传统的ICA算法相比，估计误差明显减小。结果表明，本文方法能准确地估计谐波电流实部和虚部，且具有较高的稳定性。

根据算法得到的混合矩阵A为

图4 各谐波源母线7次谐波实际电流和估计电流Fig.4 Actual current and estimated current of 7th harmonic on the harmonic source buses

如图5为混合矩阵A的幅值大小，也就是各个谐波源与关注母线之间的7次谐波互阻抗。

这些阻抗幅值从另一个角度来说，表示各个谐波源负荷在关注母线处产生的单位谐波电压，其大小与电力系统的网络结构有关。

图5 混合矩阵的幅值大小Fig.5 Amplitude of mixed matrix

表2 各谐波源责任计算结果Tab.2 Calculated results of harmonic contributions from harmonic sources

图6 各谐波源责任误差Fig.6 Error between contributions from harmonic sources

在求得混合矩阵A后，通过式（24）计算各谐波源对关注母线7、9、14的谐波贡献指标μh，如表2所示。

从表2的计算结果可知，本文方法得到的谐波责任计算值和真实值大小吻合，相对误差如图6所示。对网络中的关注母线9而言谐波源Hc2产生的单位谐波电压最大，但是注入的谐波电流负荷相对于谐波源Hc1小，因此总体来说，Hc1和Hc2的谐波贡献指标大小相当。谐波源Hc1对母线7的谐波电压影响较大，谐波源Hc3对母线14的谐波电压影响较大。谐波源Hc2对关注母线7和9的谐波电压贡献差异不大，相对母线14较大。

综上所述，本文方法通过关注母线监测到的谐波电压和谐波电流可以估计出各谐波源负荷对关注母线的谐波贡献大小，从而划分谐波污染责任。

4 结论

（1）KICA算法可以对观测数据进行盲源分离，使得处理后的数据统计独立，适用于谐波源负荷被非线性混合的情况。

（2）本文采用KPCA白化数据，使白化后的数据尽可能呈现非高斯性，然后采用ICA算法进行盲源分离。该算法为谐波责任划分提供了一种新的思路，与传统ICA方法相比，具有更好的准确性和有效性。

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Determination of Harmonic Contributions Based on Kernel Independent Component Analysis

YANG Xueping，YANG Honggeng，MA Xiaoyang，ZENG Qiaoyan
（School of Electrical Engineering and Information，Sichuan University，Chengdu 610065，China）

In order to determine the harmonic contributions at the point of common coupling，a method based on kernel independent component analysis is proposed in this paper．Firstly，the non-Gaussian distribution of observing data is improved after whitening and mean-removal by the kernel principal component analysis．Then，independent component analysis is used in the process of blind source separation of processed data，and harmonic current and harmonic impedance are thus estimated．Finally，according to the formula of harmonic contributions，the harmonic contributions from harmonic sources are determined．A simulation test on the IEEE 14-node distribution system shows that the proposed method can give more accurate result compared with the independent component analysis．

harmonic contribution；kernel independent component analysis；non-invasive；blind source separation

TM714.3

A

1003-8930（2016）12-0109-06

10.3969/j.issn.1003-8930.2016.12.018

杨雪萍（1990—），女，通信作者，硕士研究生，研究方向为电力谐波分析与评估。Email：yangxuepin910@163.com

杨洪耕（1949—），男，博士，教授，博士生导师，研究方向为电能质量、电压无功控制和智能电网。Email：yangsi@mail.sc.cninfo.net

马晓阳（1991—），男，博士研究生，研究方向为电能质量分析与控制。Email：mxy_scu@163.com

2015-07-08；

2016-06-07