衣 涛，王承民，谢 宁

（上海交通大学电子信息与电气工程学院，上海 200240）

电力系统最近负荷边界的计算方法

衣 涛，王承民，谢 宁

（上海交通大学电子信息与电气工程学院，上海 200240）

确定电力系统最近的负荷边界点对研究系统的静态稳定有着重要的意义。本文以节点电压和支路电流为状态变量的混合电力网络方程为研究基础，建立了代表系统稳定边界的特征方程，明确了在电压静态稳定临界圆上的边界条件。通过几何分析找到负荷点与对应的稳定边界的最近距离方程，建立了最小负荷边界的附加方程形成求解方程组，方程组采用牛顿迭代算法求解，为了避免在负荷边界附近雅可比矩阵奇异，算法采用了对雅可比矩阵中临界点替代的方法进行计算。仿真计算结果表明，该方法是正确的和有效的。

负荷边界；特征方程；潮流计算；电力系统；雅可比矩阵

随着可再生能源发电的大规模接入电网，其不确定性给电网带来了不小的冲击，并且随着电力系统规模越来越庞大，电力系统的运行状态变得越来越复杂。在重负荷情况下，扰动造成的电网故障更容易大范围蔓延，甚至导致电压崩溃事故。因此，迫切需要对系统静态稳定性进行分析，找到系统存在的薄弱环节，有针对性地进行预防。

为了评估系统静态稳定性，学者提出了多种方法进行分析。寻找系统最近负荷边界进而求得最小负荷裕度被普遍认为是衡量静态稳定的有效手段[1]。目前对于最近负荷边界的求解大致有以下几种方法：①直接求解的方法[2]，先给定某一负荷增长方向，采用连续潮流法或零特征根法求得该负荷增长方向上的临界点，确定负荷增长方向；②基于优化的方法[3]，通过在直角坐标系中建立电力系统最优潮流问题的二阶模型，采用内点法或零特征根法求得该负荷增长方向上的临界点；③进化算法，采用进化算法对电压稳定边界进行求解[4]。采用遗传算法或遗传算法与人工神经网络相结合将问题转化为优化问题[5]。

以上几种求解方法中，第1种容易落入局部最优解中，后两种在形式上对于解决负荷最小增长方向的问题有很大的吸引力，但算法求解是难点。本文提出了一种系统最近负荷边界求解模型，并且定义了系统最近负荷边界特征方程。在此基础上，推导出最近负荷边界的距离方程，得到系统最近负荷边界。

1 节点电压-支路电流为变量表示的电力网络方程

在直角坐标系下，当忽略对地支路电导时，电力网络可以描述为支路电流-节点电压方程混合的形式，如式（1）、（2）所示[6]，对于支路l有

对于节点i有

式中：l=1,2,…,L，L表示支路集合；i,j=1,2,…,N，N为节点集合；分别为支路l电流的实部和虚部；ei、fi为节点i电压的实部和虚部；Rij、Xij分别为支路l的电阻和电抗；Bl为支路l对地的1/2电纳；pi、qi为节点注入的有功和无功功率。对于节点 j有同样形式的方程。令分别表示节点注入电流的实部和虚部（不含对地支路电流）；

由文献[6]可知，通过对式（1）、（2）的推导，可得PQ节点电压表达式为

式中bil是节点i相关联的支路对地电纳之和。

由式（3）得到方程有解的边界特征方程为

当满足条件（4）时，PQ节点电压变为

2 代表系统最小负荷裕度的距离方程

从平面几何分析的角度不难证明，经过圆外一点与圆心相连的直线与圆相交于两点，那么圆外点与这两点的连线代表了圆外点与圆的距离的最大值和最小值。当这个圆是电压不稳定圆时，这个距离的最小值就代表了最小的负荷裕度。如图1所示，当电压不稳定圆外任一点b与圆心连线和圆边界相交于a、c两点，a、c是节点b对应圆上的临界点。此时，过a和c点圆的切线l1和l2与过原点和a、b、c点的法线是垂直的，l1与l2是平行的。b点与圆相交的最近距离的点是a点，最远距离为c点。因此，如果已知l1、l2、l3方程，通过互相垂直的关系，可以得到负荷点b与点a的距离方程，代表着圆外节点b与圆的最近距离。

图1 最小负荷距离Fig.1 Minimum load distance

由式（4）可得过圆上的点a和c的切线l1、l2方程为

式中 βb为过点a、b、c和原点的法线角度。因为αa=βb+90∘，对于PQ节点可得其距离方程为

式中：αa为过圆上a或c点的切线的角度；xa,ya分别表示a点注入电流的实部和虚部；Ba0为与a点相关联的支路对地电纳之和；pa,qa为a点注入的有功和无功功率。法线l3方程为

式中yb和xb可由式（1）确定，则代表了系统最小的负荷裕度。

3 算法求解

去除节点电压方程中使雅可比矩阵奇异的节点b，直接使用负荷边界上的节点电压表达式（5），此时节点电压方程降低一维。式（1）、（2）形成电力网络方程，式（4）、（5）、（8）形成负荷边界点的边界特征方程以及距离方程。此两组方程联立可求解最近负荷边界。

根据计算得到pa、qa，则

式中Sa或Pa表示负荷边界的参数条件，表示节点b所对应的静态电压稳定的边界。在求解出点a的pa和qa后，节点b的负荷最小的变化方向由式（10）确定，即

式中δb为节点b变化的角度。最小负荷边界距离由欧式距离来确定，即

求解出的点有两解，分别代表最近距离点a和最远距离点c，由ηb进行判断得出最小解。

计算步骤如下：对于给定的网络，由式（1）计算出yb和xb；给定节点电压ui和支路电流il的初值；对于待求的临界点a，采用式（1）、（2）、（4）、（5）和（8）形成以节点电压和支路电流为变量的迭代方程，形成降低一维的雅可比矩阵，应用牛顿法进行迭代求解。

根据计算出的临界点a的值，由式（10）和（11）计算系统最小负荷裕度的方向和大小，同时可以根据式（9）计算系统负荷边界条件。

4 算例

以IEEE118节点系统为例进行验证，平衡节点69和节点118对调，计算采用标幺值。计算的迭代次数为3次，收敛精度为4.878 406×10-7，迭代的收敛性和收敛精度并没有因为支路电流的引入而变得恶劣，主要是因为描述网络状态的信息更加丰富了。表1为系统节点对于负荷边界的最小负荷裕度的计算结果。表1选取了有代表性的计算结果。

从表1可以看出，对于系统中不同的节点都可以求出其负荷边界点，进而求出节点最小负荷裕度的大小和方向。但节点之间的负荷裕度还是有所差别的。如节点59的最小负荷裕度相对较小，而类似节点108大一些，这主要是因为节点59的负荷初值比较大，而其又位于重负荷区域，导致其负荷临界点的功率值相对较小，因此节点59与电压临界圆的距离比较近，所以负荷裕度小。而反之节点108的负荷裕度就大一些。

表1 IEEE118节点系统计算结果Tab.1 Calculation results of IEEE 118-node system

表2为本文方法与连续潮流法和遗传算法在求取最小负荷边界距离过程中的结果比较，以节点21为例，从计算结果可以看出，采用本文方法计算得出的最小负荷边界距离为2.416，要小于连续潮流法和遗传算法，因此计算结果说明本文方法的计算结果更接近负荷边界。

表2 本文方法与其他方法的比较Tab.2 Comparison between the proposed algorithm and other algorithms

5 结论

（1）本文提出的方法可以应用到最小负荷边界的计算中，分析静态稳定边界裕度；

（2）节点负荷的初始条件以及所在区域的负荷密度对负荷边界距离都有影响，在调整过程中应该综合考虑各方面的因素；

（3）系统平衡解方程和负荷边界方程直观地表达了系统电压稳定的临界条件，可以应用到电力系统其他领域的分析中。

[1]陈得治，张伯明（Chen Dezhi，Zhang Boming）.一种计算最小负荷裕度的实用方法（A practical method for calculating minimum load power margin）[J].电力系统自动化（Automation of Electric Power Systems），2008，32（16）：1-5.

[2]卢锦玲，石少通，卢洋（Lu Jinling，Shi Shaotong，Lu Yang）.含大规模风电场的电网静态电压稳定性评估（Static voltage stability assessment on the grid with largescale wind farm connection）[J].电力系统及其自动化学报（Proceedings of the CSU-EPSA），2015，27（6）：73-80.

[3]聂永辉，肖白，刘凤兰（Nie Yonghui，Xiao Bai，Liu Fenglan）.电力系统最优潮流新模型及其内点法实现（New optimal power flow model and its solution by using nonlinear interior point method）[J].电力系统及其自动化学报（Proceedings of the CSU-EPSA），2014，26（11）：53-57.

[4]Hassim F I H，Musirin I，Rahman T K A.Voltage stability margin enhancement using evolutionary programming（EP）[C]//4th Student Conference on Research and Development，Selangor，Malaysia，2006：235-240.

[5]Razmi H，Teshnehlab M，Shayanfar H A.Neural network based on a genetic algorithm for power system loading margin estimation[J].IET Generation，Transmission& Distribution，2012，6（11）：1153-1163.

[6]李宏仲，王承民，程浩忠，等（Li Hongzhong，Wang Chengmin，Cheng Haozhong，et al）.利用回路电流和节点电压混合分析法快速构造电压稳定域（Fast construction of voltage stability regions using hybrid analysis method combining loop current with node voltage）[J].电网技术（Power System Technology），2005，29（8）：35-39.

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摘编于《中国高等学校自然科学学报编排规范》（修订版）

Calculation Method for Determining the Closest Load Boundary in Power System

YI Tao，WANG Chengmin，XIE Ning
（School of Electronic Information and Electrical Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China）

The determination of the closest load boundary in power system is of significance to the study of its static stability.In this paper，based on the hybrid electric network equations with node voltages and branch currents as state variables，a characteristic equation is established to describe the system stability boundary，and obtain the boundary conditions on the static voltage stability circle.The equation for the distance between the load point and load boundary is found by geometrical analysis.The equations for analyzing the closest load boundary are built，and they are solved by Newton iteration method.The critical points in Jacobian matrix are replaced to avoid the singularity around the load boundary.Simulation results demonstrate that the method is correct and effective.

load boundary；characteristic equation；power flow calculation；power system；Jacobian matrix

TM744

A

1003-8930（2016）12-0038-04

10.3969/j.issn.1003-8930.2016.12.007

衣 涛（1973—），男，博士，讲师，研究方向为电力系统电压稳定。Email：yitao4965@126.com

王承民（1969—），男，博士，教授，研究方向为电力系统稳定。Email：wangchengmin@sjtu.edu.cn

谢 宁（1973—），女，博士，副教授，研究方向为电力系统稳定。Email：xiening@sjtu.edu.cn

2014-09-12；

2016-02-25

国家自然科学基金青年科学基金资助项目（51307108）