郭世桦，阎敬业，吴 季

（1.中国科学院微波遥感技术重点实验室 北京 100190；2.中国科学院国家空间科学中心 北京100190；3.中国科学院大学 北京100190）

宽带匹配网络中参量法与盖维茨法的数值误差研究

郭世桦1，2，3，阎敬业1，2，吴 季2

（1.中国科学院微波遥感技术重点实验室 北京 100190；2.中国科学院国家空间科学中心 北京100190；3.中国科学院大学 北京100190）

在宽带电路以及宽带天线设计中经常需要设计宽带匹配网络，传统解析方法只针对简单负载有效。与解析方法不同，数值方法可以在知道负载实频数据的条件下进行宽带化设计。本文对数值方法中常用的参量法与盖维茨法来构成最小函数的问题进行了理论分析与数值编程，比较了两者在生成最小阻抗函数上的误差大小，且分析了两者产生误差的原因。结果表明，对于阶数比较低的情况，采用参量法和盖维茨法均可行且两者误差几乎相等；但是对于阶数比较高的情况，参量法比盖维茨法的数值误差小几个数量级，这对于设计宽带匹配网络具有很大的指导意义。

宽带匹配网络；参量法；盖维茨法；网络分析与综合

在电路设计以及天线设计中，常常遇到宽带匹配的问题，比如宽频带低噪声放大器的设计，宽带功放的设计以及宽带天线的匹配网络等。这些问题均是在知道负载对应若干个频点的输入阻抗情况下，去设计宽带匹配网络的问题。在传统的解析法[1-4]中只有对于简单的负载才能有解析的公式。而在现代通信中，通过测量得到的负载数据更具有现实意思，从而也产生了各种各样的数值解法以及CAD程序来设计宽带匹配网络。1977年，H.J.Carlin[5]提出的实频技术法[6-9]就是一种很有效的CAD方法，以及用于双匹配问题的直接计算法[10-11]等。在这些数值算法中，都涉及到由偶部多项式构成最小函数的问题。在这个问题中，主要有参量法以及盖维茨法，但是在应用这两种方法时，大家对两者方法的数值误差没有进行深入的研究，以及对两种方法的使用范围没有很清晰的认识。文中在充分分析两种方法的基础上，总结了两种方法的实现步骤，并且通过两个具体的例子比较了两种方法的数值误差，且分析了两者误差的原因，最后给出了在设计宽带匹配网络中的一些结论。

1 参量法

在宽带匹配网络设计的过程中，一个主要的难题就是根据预定的系统性能来构成一个合适的正实函数，而这可以通过最小函数来实现，最小函数的极点必须在s域的左半平面，相应的留数为正，即函数可以写成博德形式或者参量法[12-15]表示成如下形式

如果满足以下条件:（a）极点s=sj在左半平面；（b）常数F0非负；（c）F（s）的偶部非负。则该函数为正实函数。通过（1）式可以构成一个最小电抗函数Z（s）=R（s2）+odd（Z）或者最小电纳函数Y（s）=G（s2）+odd（Y）。如果偶部R（s2）或者G（s2）已知，则可以很容易的构成一个正实函数。

最小导抗函数的实部可以写成如下的全极点形式，且为偶多项式

其中{s1，s2，…sn}是多项式F（s）的左半平面的极点，且

在s域，则有

另外，有

2 盖维茨法

与参量法不同，盖维茨法[16]是通过把偶部R（-s2）写成有理函数的形式，再通过希尔伯特变换得到虚部，这在数值计算上有很大的优势。

假设最小函数F（s）可以写成如下形式

R（-s2）可以写成如下两种形式

从（7）（8）两式可以得出

其中y（s）包含了Y（s）所有左半平面的极点，y（-s）包含了所有右半平面的极点。

求出了极点很容易构建出y（s），即

只要求出了yi，则可以由（8）（9）求出xi，易知α0=x0y0

由式（10）（12）求出了y（s）和x（s），就可以得到最小函数F（s）。

3 数值误差比较及分析

上面两小节对参量法和盖维茨法生成最小函数的方法进行了详细的分析，且给出了具体的步骤。基于前两节的分析，我们假设偶部表示成R（ω2）=A（ω2）/B（ω2）的形式。由给出的偶部，采用参量法以及盖维茨法来编程分别计算两者的误差大小。设由参量法求出的最小函数为Zpara=apara/bpara，由盖维茨法求出的最小函数为Zgewe=agewe/bgewe，则由Zpara及Zgewe可以再次计算出偶部的表达式 Rpara=Apara/Bpara和Rgewe=Agewe/Bgewe， 则两者的计算误差由下两式（13）（14）给出，具体流程图如图1所示

图1 数值实验流程图

下面通过两个例子来比较参量法与盖维茨法在构成最小函数F（s）=a（s）/d（s）时的误差大小。

例1：给出偶部的分子和分母分别为A=[1 2 3 4 5]，B=[5 4 3 2 1]，编程计算结果如表1。

表1 阶数低时的实验结果

由表1的结果，根据式（13）（14）可以算出两者的数值误差如下

例2：给出偶部的分子和分母分别为A=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 14 15 16 17 18 19 20]，B=[20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1]，编程计算结果如表2、表3及表4。

同样可以利用式（13）（14）计算两者的数值误差，计算结果如下

Error_para=1.0833e-06，Error_gewe=3.7000e-03

从以上两个例子可以看出在，如表1，当阶数比较小（n＜5）时，参量法与盖维茨法计算出来的误差都在同一数量级，当然对于不同的计算机，由于计算机硬件资源不同，计算机的运算速度也不同，计算结果可能有些偏差，但是计算结果的数量级是一样的。表2至表4则表明，当阶数比较高时，可以看出参量法得出的计算结果明显优于盖维茨法，误差小了近（3.7000e-03）/（1.0833e-6）=3415倍。

通过一二节的理论分析，参量法是通过计算极点和留数来生成最小函数，先求出左半平面的极点，再进行式（10）运算而产生误差。盖维茨法的分母多项式产生方法与参量法类似，但分子多项式的计算过程中要进行式（12）矩阵求逆的运算，尤其是在遇到接近奇异矩阵时误差更大。所以在进行宽带匹配网络的设计过程中，对于阶数比较低的情况，采用参量法和盖维茨法都是可以的，两者误差几乎可以忽略；但是对于阶数比较高的情况，参量法比盖维茨法的数值误差明显小很多，具有几个数量级的差别。这在设计宽带匹配网络的过程中对于不同阶数的匹配网络，需要采用不同的数值方法进行网络的综合，以使得误差最小。

表2 阶数高时的实验结果一

表3 阶数高时的实验结果二

表4 阶数高时的实验结果三

4 结 论

在设计宽带匹配网络的方法中，数值法具有比解析法更广的适用范围。针对数值法在使用多项式偶部来构造最小函数的两种方法，本文对参量法和盖维茨法两种方法构成最小函数的主要步骤进行了详细的分析与总结，并编制了相应的程序进行了数值实验。分析结果表明，对于不同阶数、不同复杂度的匹配问题，两种方法的误差也不同，对于阶数比较低的情况，采用参量法和盖维茨法均可行且两者误差几乎可以忽略；但是对于阶数比较高的情况，参量法比盖维茨法的数值误差明显小很多。最后分析了两种方法产生误差的原因，这对于设计宽带匹配网络具有指导意义。

[1]Fano R M.Theoretical limitations on the broadband matching of arbitary impedences[J].Frankin Inst.，1950（249）：57-83.

[2]Kuh E S，Patterson J D.Design theory of optium negative resistance amplifiers[J].Proc.IRE，1961，49（6）：1043-1050.

[3]Youla D C.A new theory of broadband matching[J].IEEE Trans.Circuit Theory，1964（11）：30-50.

[4]Chien W K.A Theory of broadband matching of a frequency dependent generator and load[J].Franklin Inst，1974（298）：181-221.

[5]Carlin H J.A new approach to Gain-Bandwidth problems[J]. IEEE transactions on circuits ans systems，1977（4）:170-175.

[6]陈轶鸿.宽带天线阻抗匹配设计中的实频法[J].电子学报，1997（3）：19-24.

[7]Carlin H J，Komiak J J.Anew method of broadband equalization applied to microwave amplifiers[J].IEEE Trans.Microw. Theory Tech.，1979（27）：93-99.

[8]Carlin H J，Amstutz P.On optimum broadband matching[J]. IEEE Trans.Circuits Syst，1981（28）：401-405.

[9]Yarman B S.Real frequency broadband matching using linear programing[J].RCA Review，1982（43）：626-654.

[10]Carlin H J，Yarman B S.The double matching problem:Analytic and Real frequency solution[J].IEEE transactions on circuits ans systems，1983（30）：15-28.

[11]Yarman B S.Broadband matching a complex generator to a complex load[D].PhD thesis，Cornell University，1982

[12]Bode H W.Network analysis and Feedback Amplifier Design [M].Van Nosrtand，1945.

[13]Fettweis A.Parametric representation of bruce functions，Int [J].Circuit Theory and Appl，1979（7）：113-119.

[14]Pandel J，Fettweis A.Broadband matching using parametric representations，IEEE Int，symp.on Circuit and System，1985（41）：143-149.

[15]Yarman B S，Fettweis A.Computer Aided Double Matching via Parametric Represantation of Brune Function[J].IEEE Trans.on CAS，1990，37（2）：212-222.

[16]Gewertz C.Synthesis of a Finite Four Terminal Network from its prescribed Driving Point Functions and Transfer Function[J].Journal of Mathematics and Physics，1932（12）：1-257.

Numerical error study on parametric approach and Gewertz procedure in designing broadband matching network

GUO Shi-hua1，2，3，YAN Jing-ye1，2，WU Ji2
（1.Key Laboratory of Micrwave Remote Sensing，Chinese Academy of Science，Beijing 100190，China；2.National Space Science Centre，Chinese Academy of Science，Beijing 100190，China；3.University of Chinese Academy of Science，Beijing 100190，China）

In broadband circuits design and broadband antenna design，there often occurs problem like designing a broadband matching network.There are usually two methods，traditional analysis method and numerical method.For analysis method，it is only apply for simple load effectively.However，we always need to design a broadband networks under the condition that we have several impedence values at some specfic frequency，numerical method can easy deal with it.In numerical method，there is a need to generate a minimal function based on the odd part，parameter approach and Gewertz procedure are usually used. In this paper，we carry on the theoretical analysis and numerical programming，the error between those two methods are compared，and causes of the error are also analyzed.Results show that in the case of low order，two methods are both feasible and almost equal error.But in the case of high order，the error caused by parametric approach is several orders of magnitude smaller than Gewertz procedure.This result has great guiding significance in designing broadband matching network.

broadband matching network；parametric approach；Gewertz procedure；network analysis and synthesism

TN711

A

1674－6236（2016）24-0119-03

2015-12-02 稿件编号：201512015

郭世桦（1990—），男，江西吉安人，硕士研究生。研究方向：宽带天线设计、微波电路设计。