郑喜英,孔 波

(1.黄河科技学院信息工程学院,中国 郑州 450063; 2. 河南财政金融学院数学与统计学院，中国 郑州 450046)



环Fp+uFp+…+uk-1Fp上(1-u)-常循环码的深度谱

郑喜英1*,孔 波2

(1.黄河科技学院信息工程学院,中国 郑州 450063; 2. 河南财政金融学院数学与统计学院，中国 郑州 450046)

本文研究环Fp+uFp+…+uk-1Fp上长为n(这里p⫮n)的(1-u)-常循环码的生成多项式. 基于差分运算的线性性质及环Fp+uFp+…+uk-1Fp上(1-u)-循环码的结构,给出其上(1-u)-常循环码的深度谱.

有限链环；常循环码；深度谱；深度分布

有限环上常循环码理论的研究是目前的热点问题. Etizion[1]把微分运算应用到线性码中,给出了一些码的深度分布. Mitchell[2]用整数值有理多项式的理论给出了二元循环码的深度分布.Luo等[3]利用矩阵理论给出了线性码深度分布的一般计算公式, 给出了有限域上线性码的深度分布和深度谱. 廖群英等[4]给出了两类环上线形码的深度谱和深度分布的计算公式. 石立叶等[5]在研究了四元循环码生成多项式的基础上给出了四元循环码的深度谱. 郑喜英等[6]给出了环Zpm上循环码的深度谱. Chen等[7]给出了环Fpm+uFpm上长为2ps常循环码的结构. 石立叶等[8]用差分运算的线性性质给出了有限域上循环码的深度分布. 施敏加等[9]研究了环Fq+uFq+…us-1Fq上常循环码的结构. Kai等[10]研究了有限环F2+uF2+vF2+uvF2上长为奇数的Fp+uFp+…uk-1Fp-常循环码的结构. Chen等[11]研究了有限域上的常循环码的等价性, 并对其上常循环码的生成员进行了刻画. 向跃明等[12]给出了半本元环的一些刻画. 郑喜英等[13]给出了有限链环上循环码的深度分布. 本文的第一部分对环p上常循环码和深度分布及深度谱的概念和性质进行了介绍. 第二部分根据环p上(1-u)-常循环码的结构给出了该环上的(1-u)-常循环码深度谱.

文中出现的p均是素数,(n,p)=1,环Fp+uFp+…+uk-1Fp均记为R.

1 基本概念

定义1 环R上长为n的线性码是R-模Rn的一个加法子模. C为环R上长度为n的线性码,如果∀c=(c0,c1,…,cn-1)∈C ⟹((1-u)cn-1,c0,c1,…,cn-2)∈C, 则称C为(1-u)-常循环码.

本文中的(1-u)-常循环码均认为是线性的.

C是环R上长为n的循环码的充分必要条件是C是R[x]/(xn-1)的理想. C是环R上长为n的(1-u)-常循环码的充分必要条件是C是R[x]/(xn-1+u)的理想.

下面定义3个线性算子.

(1) ∀x=(x1,x2,…,xn)∈Rn定义x的差分为D(x)=(x2-x1,x3-x2,…xn-xn-1).约定n=1时D(x)=0. 当1

(2) 对任意多项式l(x)∈R[x],定义线性算子

Ll(x):R[x]/(xn-1+u)→R[x]/(xn-1+u),

证明同文献[5]引理2.1.

定义2 对向量x=(x0,x1,…,xn-1)∈Rn, 称使Di(x)=0成立的最小非负整数i称为向量x的深度, 记为depth(x), 否则记x的深度为n.

定义3[3]设C是环R上长为n的线性码, Di表示码C中深度为i的码字的个数, 则集合{D0,D1,…,Dn}称为码C的深度分布, {i|Di≠0,1≤i≤n}为码C的深度谱,记作Dept(C). 约定Dept({0})=∅.

引理3 (1) D是从Rn到Rn-1的满线性同态；

(2) 若depth(x)=d>t>0, 则depth(Dt(x))=d-t；

(3) Dept(Rn)={1,2,…,n}.

证 将文献[8]中引理2.5证明中的F换成R即可.

引理4 设C是环R上长为n的码, 记C′=Di(C)是码C通过算子Di在Rn-i中的像, 这里1≤i≤n, 记C″={c∈C| Di(C)=0},则

Dept(C)=Dept(C″)∪(i+Dept(C′))

证 将文献[5]中定理2.6证明中的F换成R即可.

2 主要结果

证 由

(1)

可知C是R[x]/(xn-1+u)的理想且在算子Lx-1之下封闭, 得线性同态

(2)

记f′(x)=(x-1)ef1(x),则(2)的像是由f′(x)生成的(1-u)-常循环码, 记为C′, 检验多项式是h1(x),所以C′={g(x)f′(x)mod(xn-1+u)|g(x)∈R[x]}. 因C′的生成多项式是首一的且次数为n-t且dimC′=degh1(x)=t. 则可以将线性映射(2)改为线性满同态

(3)

由于s+t≤n, 即n-s-t≥0,且C′是(1-u)-常循环码.

进一步考虑线性变换

(4)

(5)

进一步,对C′考虑截取算子,可得下面的线性同构

(6)

Dn-t:C→Rt

C″={c∈C| Dn-t(c)=0}=

(7)

Dept(C)=Dept(Ker(Dn-t))∪(n-t+Dept(lmf(Dn-t)).

Dept(C)=Dept(C″)∪(n-t+Dept(Rt))={1,2,…,s}∪{n-t+1,n-t+2,…,n}={1,2,…,s,n-t+1,n-t+2,…,n}.

根据定理1,2可得下面的定理：

{1,2,…,s1,n-(m1-s1)+1,n-(m1-s1)+2,…,n;…;

1,2,…,sk,n-(mk-sk)+1,n-(mk-sk)+2,…,n}

综上可得,环R长为n的(1-u)-常循环码的深度谱为集合

{1,2,…,s1,n-(m1-s1)+1,n-(m1-s1)+2,…,n;…;

1,2,…,sk,n-(mk-sk)+1,n-(mk-sk)+2,…,n}.

[1] ETIZION T. The depth distribution: a new characterization for linear codes [J]. IEEE Trans Infor Tech, 1997,43(4):1361-1363.

[2] MITCHELL C J. On integer-valued rational polynomials and depth distributions of binary codes [J]. IEEE Trans Infor Tech, 1998,44(7):1346-1350.

[3] LUO Y, FU F W, WEI V. On the depth distribution of linear codes [J]. IEEE Trans Inform Theor, 2000,46(2):2197-2203.

[4] 廖群英,蒲可莉. 环上线性循环码的深度谱以及深度分布的一个注记[J]. 四川师范大学学报(自然科学版), 2013,36(2):159-164.

[5] 石立叶,樊 恽. 四元循环码的深度分布[J]. 华中师范大学学报(自然科学版), 2009,43(3):355-358.

[6] ZHENG X Y, KONG B. The depth spectrums of linear cyclic codes on ring zpm[C]// IEEE Youth Conference on Information, Computing and Telecommunication, Beijing, 2010:162-165.

[7] CHEN B C, HAI Q D, LIU H W,etal. Constacyclic codes of length 2psoverFpm+uFpm[J]. Finite Fields Their Appl, 2016,37(5):108-130.

[8] 石立叶,循环码的深度分布[D].武汉：华中师范大学, 2007.

[9] 施敏加,朱士信. 环Fq+uFq+…us-1Fq上的常循环码[J]. 中国科学技术大学学报， 2009,39(6):583-587.

[10] KAI X S, ZHU S X, WANG L Q. A family of constacyclic codes overF2+uF2+vF2+uvF2[J]. J Syst Sci Compl, 2012,25(5):1032-1040.

[11] CHEN B C, FAN Y, LIN L R,etal. Constacyclic codes over finite fields[J]. Finite Fields Their Appl, 2012,18(6):1217-1231.

[12] 向跃明, 吴毅清. Small理想都是投射的环[J]. 湖南师范大学自然科学学报, 2012,35(1):1-4.

[13] 郑喜英, 常晓鹏. 有限链环上循环码的深度分布[J]. 河南大学学报(自然科学版), 2012,42(4):347-350.

(编辑 HWJ)

The Depth Spectrum for (1-u)-Constacyclic Codes overFp+uFp+…uk-1Fp

ZHENGXi-ying1*,KONGBo2

(1. Institute of Information Engineering, Huanghe Science and Technology College, Zhengzhou 450063, China；2. School of Mathematics and Statistics, Henan Institute of Economy, Zhengzhou 450046, China)

The generator polynomial for (1-u)-constacyclic codes of lengthnover the ringFp+uFp+…+uk-1Fpis established whenp⫮n. In light of the linear property of difference and the structure of (1-u)-constacyclic codes over ringFp+uFp+…+uk-1Fp, the depth spectrum of (1-u)-constacyclic codes over the ring is given.

finite chain ring; constacyclic code; depth spectrum; depth distribution

10.7612/j.issn.1000-2537.2016.06.015

2015-10-17

河南省基础与前沿项目(162300410083)；郑州市科技局项目(20141375)

O157.4

A

1000-2537(2016)06-0085-04

*通讯作者,E-mail：zxyccnu@163.com