孙菊贺，纪东辰,王 琪

(沈阳航空航天大学 理学院，沈阳 110136)



求解非线性互补问题的一类光滑牛顿算法

孙菊贺，纪东辰,王 琪

(沈阳航空航天大学 理学院，沈阳 110136)

主要研究一类光滑函数法求解非线性互补问题。基于Fischer-Burmeister(FB)互补函数的光滑形式，将非线性互补问题转化为一类光滑的非线性方程组问题。为了求解该光滑非线性方程组问题，提出一类的全局收敛光滑牛顿算法。讨论了方程算子的雅克比矩阵的非奇异性。应用所提出的牛顿方法求解一类互补问题，得到相应的数值结果。

非线性互补问题;互补函数;光滑牛顿法;非光滑性;收敛性

非线性互补问题(NCP)是指：求矢量x∈Rn，使其满足

x≥0,F(x)≥0,xTF(x)=0

(1)

其中F:Rn→Rn是连续可微的。

变分不等式和非线性互补问题(NCP)起源于20世纪60年代。到20世纪80年代变分不等式和非线性互补问题在数学规划领域中已经发展到一个卓有成效的学科，并将其应用到了工程学、经济学、物理学等重要领域中。

1 预备知识

定义 1.1 设φ：R2→R为二元函数且满足

φ(a,b)=0⟺a≥0,b≥0,ab=0

(2)

则二元函数φ称为非线性互补(NCP)函数。

所谓的FB函数是指

φFB(a,b)=(a2+b2)1/2-(a+b)

(3)

易得FB函数(3)是一类NCP函数且在原点处是不可微的。因此我们给出下面的光滑的FB函数

(4)

显然，当u>0时，φu(a,b)是连续可微的。

下面欲将非线性互补问题(1)转化为方程问题。先给出以下假设。

假设1.1 函数A：R→R连续可微，并且设A(u)满足以下3个条件：

(1)A′(u)>0对所有u∈R成立；

(2)A(u)有唯一零点u=0；

令

(5)

定义效益函数ψu;Rn→R+：

(6)

应用光滑函数(4)可以将(1)转化成下面非线性方程组问题：

(7)

其中z=(u,x)∈Rn+1,A:R→R满足假设1.1。令

(8)

则(1)等价于下面最小值问题:

(9)

注1.1 假设1.1对于下一部分的算法起着关键性的作用。根据……