王丽娟，杨胜良

（兰州理工大学理学院，甘肃兰州730050）

Riordan矩阵在广义Motzkin路计数中的应用

王丽娟，杨胜良

（兰州理工大学理学院，甘肃兰州730050）

用Riordan矩阵的方法研究了具有4种步型的加权格路（广义Motzkin路）的计数问题，引入了一类新的计数矩阵，即广义Motzkin矩阵.同时给出了这类矩阵的Riordan表示，也得到了广义Motzkin路的计数公式.Catalan矩阵，Schröder矩阵和Motzkin矩阵都是广义Motzkin矩阵的特殊情形.

Riordan矩阵；格路；Catalan矩阵；Schröder矩阵；Motzkin矩阵

1 引言

集合Z×Z中的点叫做xOy平面上的格点.由一些格点构成的序列P=v0v1···vn叫做长度为n的格路.格路P=v0v1···vn上的两个相邻格点vi=（ai，bi），vi+1=（ai+1，bi+1）的差vi+1-vi=（ai+1-ai，bi+1-bi）叫做一个步，i=0，1，···，n.

设C（n，k）表示所有从点（0，0）到点（n，n-k），允许步为E=（1，0），N=（0，1），并且不到直线y=x上方的格路的集合，C（n，k）为集合C（n，k）中格路的个数，即C（n，k）=|C（n，k）|.由文献［1］，C（n，k）是投票数，且

在文献［2］中，Ramírez研究了第一象限内一类具有4种步型：E=（1，0），N=（0，1），U=（1，1），V=（1，2）的加权格路的计数问题，利用这类加权格路定义了一种Riordan矩阵，这种Riordan矩阵的升对角线上的元素之和为k-Bonacci数.本文用Riordan矩阵的方法研究了具有4种步型的加权路（广义Motzkin路）的计数问题，引入了一类新的计数矩阵，即广义Motzkin矩阵.同时给出了这类矩阵的Riordan表示，也得到了广义Motzkin路的计数公式.Catalan矩阵，Schröder矩阵和Motzkin矩阵都是广义Motzkin矩阵的特殊情形.

2 Riordan矩阵

3 广义Motzkin矩阵与广义Motzkin数

这一节考虑第一象限内具有4种步型E=（1，0），N=（0，1），U=（1，1），V=（1，2）且位于对角线y=x以下的加权格路的计数问题，这些步的权分别为1，a，b，c.这样的路叫作广义Motzkin路.规定加权格路P的权w（P）是其所有步的权的乘积，加权格路P的长度l（P）是组成这条格路的步的个数.

根据上一节中Riordan矩阵的刻画，矩阵D=［D］n，k≥0为Riordan矩阵……