闫盼盼，曹重光

（黑龙江大学数学科学学院，黑龙江哈尔滨150080）

域上两类矩阵保逆的诱导映射

闫盼盼，曹重光

（黑龙江大学数学科学学院，黑龙江哈尔滨150080）

令F是一个域，Sn（F）是F上所有n×n上对称矩阵的集合.用Tn（F）记F上所有n阶上三角阵的集合.首先分别给出诱导映射和保逆性的定义.然后改进了关于复对称阵保逆的主要相关结果及其证明，得到了Sn（F）保逆诱导映射的一般形式，最后借助于类序列技术和初等方法刻画了Tn（F）保逆诱导映射.它推广和改进了带有附加条件（fij（x）=0⇔x=0）的相关结果.

域；对称矩阵；上三角矩阵；保逆；诱导映射

1 引言

关于矩阵保持问题研究，近年来更感兴趣于刻画没有线性和加法假定的保持映射，例如文献［1-7］.本文研究的诱导映射也属于这个方向.

设F是一个域，Mn（F）及Sn（F）分别记F上所有n阶矩阵及所有n阶上对称矩阵的集合，用Tn（F）

记F上所有n阶上三角阵的集合.设f是Mn（F）（Sn（F），Tn（F））到自身的映射，fij是F上的函数，其中ij∈｛1，2，···n｝.如果定义

则称f是由｛fij｝诱导的映射.简称Mn（F）（Sn（F），Tn（F））的诱导映射.

如果AB=In意味着f（A）f（B）=In，则f被称为保逆矩阵.关于方阵的保逆矩阵的诱导映射的刻画由文献［1］完成.之后，文献［5］给出了复数域上对称阵保逆诱导映射的一般形式，文献［6］在一定条件下给出了上三角矩阵保逆诱导映射的刻画.本文试图将文献［5-6］的结果推广到一般域上，同时将去掉文献［6］的条件（ChF/=2，fij（x）=0⇔x=0），得到完整的刻画.

在本文中用F∗记F中所有非0元的集合，Eij表示（i，j）位置是1，其余位置是零的矩阵，In记n阶单位阵.A⊕B表示矩阵A与B的直和，［1，n］表示集合［1，2，···，n］.

2 对称矩阵保逆的诱导映射

定理2.1 设F是一个域，n为整数且n≥3，f：Sn（F）→Sn（F），是由｛fij｝诱导的映射，且f（0）=0.则f是保逆的充分必要条件是；……