张德燕，马统一

（1.淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北235000；2.同济大学数学系，上海200092；3.河西学院数学与统计学院，甘肃张掖734000）

关于对偶Steiner多项式的根的注记

张德燕1，2，马统一3

（1.淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北235000；2.同济大学数学系，上海200092；3.河西学院数学与统计学院，甘肃张掖734000）

受凸体的Steiner多项式的启发，定义了星体的对偶Steiner多项式，并利用对偶Aleksandrov-Fenchel不等式讨论了对偶Steiner多项式的根.进而，得到了关于对偶Steiner多项式的根的一些不等式，这些不等式恰好是关于Steiner多项式的根的不等式的对偶形式.

Steiner多项式；对偶Steiner多项式；对偶Aleksandrov-Fenchel不等式

1 引言

记Kn是所有凸体（n维欧氏空间Rn中的紧凸集）的集合，Bn是n维单位球体，Kno表示所有有非空内部的凸体的集合，则Kno⊆Kn.我们用V（·）表示n维体积.对任意的凸体K，E∈Kn，ρ是一个非负实数，则V（K+ρE）可以表示成ρ的n次多项式：

若E=Bn，（1.1）式是经典的Steiner公式［2］，Wi（K；Bn）通常简记为Wi（K），是经典的第i阶均值积分.

一般地，凸体K关于E的相对内半径r（K；E）和相对外半径R（K；E）定义为：

定义1.1［3］记C为复数域.设s∈C，称关于变量s的多项式

为（相对）Steiner多项式.

在Brunn-Minkowski理论中，Steiner多项式是一个重要的研究课题，尤其是对Steiner多项式根的讨论已受广泛关注［37］.当n=2时，Steiner多项式有两个负实根，其中一个不大于-R（K；E），另一个不小于-r（K；E）.在文献［8］中Teissier提出是否可将此结果推广到n＞2的情形？同时文献［7，9］中提出了下面的猜想：

猜想记Re（s）为一个复数s的实部.设K，E∈Kn，γi（i=1，···，n）是Steiner多项式f（K，E，s）的n个根，且满足Re（γ1）≤···≤Re（γn），则

上面已经提到n=2时该猜想正确.对n=3的情形，文献［5］中已经证明对于一些特殊的凸体该猜想正确.对任意维数n，文献［3］中证明了：设K∈Kn，E∈Kno，γi（i=1，···，n）是Steiner多项式f（K，E，s）的n个根，则