李志坚 原琰博 贾 昱

(中北大学朔州校区 山西 朔州 036000)

郑忠喜

(中北大学理学院物理系 山西 太原 030000)



用半波带法推导单缝夫琅禾费衍射暗纹条件的相关讨论

李志坚 原琰博 贾 昱

(中北大学朔州校区 山西 朔州 036000)

郑忠喜

(中北大学理学院物理系 山西 太原 030000)

在大学物理教学中，半波带法是一种处理单缝夫琅禾费衍射的简单方法.半波带法可以推导出单缝夫琅禾费衍射的暗纹条件，但是，学生容易对这个推导过程产生误解，从而把暗纹位置判断成明纹位置.为了让学生更好地理解半波带法和衍射现象的实质，分析了对暗纹条件产生的两种误解，并得出误解产生的原因，即学生计算半波带或者波带间的干涉叠加时，未考虑它们之间的相位关系.

衍射 半波带 干涉 相位

1 引言

在大学物理教学中，单缝夫琅禾费衍射是一个最基本的衍射类型[1,2].半波带法是处理单缝夫琅禾费衍射较为简单的一种方法[3～5]，学生容易接受.

一束平行光垂直入射到单缝上，发生衍射.半波带法给出的暗纹公式为

(1)

其中a为缝宽，θ为衍射角，λ为垂直入射的光波的波长.

学生在根据以上的思想推导暗纹条件时容易产生两种误解，从而把暗纹所在位置判断成明纹所在位置.

2 半波带法推导暗纹条件过程的定量分析

如图1所示，一束平行光垂直入射到单缝OA上，以O为原点建立坐标轴，取从O到A为x轴正方向.在狭缝上任选一点M，该点到O点的距离为x.该点相当于一个子波波源，其振幅正比于微元dx.狭缝处的波阵面可以看成是一个个子波波源组成，这些子波在波阵面上的振动相位相同，到达P点后，P点振动的合振幅取决于各子波的光程差.

图1 单缝夫琅禾费衍射

作平面OB⊥AB，那么OB面上的各点达到P点的光线的光程都相等，这样从OB发出的光线在P点的相位差就等于它们在OB上的相位差.假设OA面上各点的振动初相位为零，M点光线沿θ方向到达OB面上的N点，那么N点处光振动的表达式为[6]

(2)

(3)

其中δ为从N点到P点的光程.式(3)写成复指数形式为

(4)

2.1 把波阵面分成2k个半波带

根据式(1)，波阵面OA可以分成2k个半波带，从单缝最下端到最上端依次为第1个半波带，第2个半波带，……，第m个半波带，……，第2k个半波带.第m个半波带在P点处的振动为式(4)的积分

(5)

第(m+1)个半波带在P点处的振动为

eiπEm=-Em

(6)

Em+Em+1=0

(7)

即相邻半波带在P点处振动的振幅相等，但振动相位相反，振动叠加为零.所以，P点处叠加的结果表明P点为暗纹所在位置.

下面考虑不相邻的两波带在P点引起的振动.根据式(5)第m个半波带和第(m+2)个半波带在P点干涉结果为

Em+Em+2=

(8)

那么这两个半波带在P点干涉加强.同理，根据式(5)第(m+1)个半波带和第(m+3)个半波带在P点干涉结果为

Em+1+Em+3=

(9)

那么这两个半波带在P点干涉加强.所以，以上两者在P点引起的振动都是加强的，且振动的振幅相等，但是振动的相位却相反.两者振动叠加为

(Em+Em+2)+(Em+1+Em+3)=0

(10)

所以，P点处叠加的结果表明P点为暗纹所在位置.

2.2 把波阵面分成k个整波带

根据式(1)，波阵面OA可以分成k个整波带，从单缝最下端到最上端依次为第1个波带，第2个波带，……，第n个波带，……，第k个波带.第n个波带在P点处的振动为

(11)

第(n+1)个波带在P点处的振动为

Enei2π=0

(12)

即任意整波带在P点引起的振动为零.所以，P点处叠加的结果表明P点为暗纹所在位置.

3 结束语

1 赵凯华，钟锡华. 光学(上册). 北京：北京大学出版社，1982

2 游璞，于国萍. 光学. 北京：高等教育出版社，2006

3 程守洙，江之永. 普通物理学(下册) . 北京：高等教育出版社，2012

4 许丽萍，魏天杰. 物理学原理简明教程(下册). 北京：高等教育出版社，2013

5 马文蔚. 物理学. 北京：高等教育出版社，2014

6 谢英慧,杨洁,宋汉阁.夫琅和费型单缝衍射光强公式的修正.东北师大学报: 自然科学版,1997(3):34～37

*中北大学高等教育教学改革创新项目(2016).

李志坚(1986- )，男，硕士，助教，主要从事大学物理教学及量子光学的研究.

2016-09-09)